Изменения

|definition='''Эргодическая''' [[Марковская цепь|Марковская марковская цепь]] называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) <tex>\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots англ. ''ergodic Markov chain'')^{\top}</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N---}</tex> и:<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_jмарковская цепь, \quad \forall i=1,2, \ldots</tex>целиком состоящая из одного [[Марковская цепь#sort_def| эргодического класса]].

==Основная Стационарный режим==Эргодические марковские цепи описываются [[Отношение связности, компоненты связности|сильно связным графом]]. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i</tex> в любое состояние <tex>S_{j}, (i,j = 1,2,\ldots,n)</tex> за конечное число шагов. Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (<tex>t \to \infty</tex>) наступает '''стационарный режим''', при котором вероятности <tex>\alpha_i</tex> состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, то есть: <tex>\alpha_i = const</tex>. == Классификация эргодических цепей == {{Определение|definition=В эргодической цепи можно выделить '''циклические классы''' (англ. ''cyclic classes''). Количество циклических классов <tex> d </tex> называют '''периодом цепи''' (англ. ''period of Markov chain''), если цепь состоит целиком из одного циклического класса, её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]. С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке, причем каждые <tex>d</tex> шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе.}} Таким образом, эргодические цепи делятся на [[Регулярная марковская цепь|регулярные]] и '''циклические'''. == Эргодическая теорема =={{Определение|definition='''Эргодическое (стационарное) распределение''' (англ. ''stationary distribution'') {{---}} распределение <tex>\alpha = (\alpha_1 \ldots \alpha_n )</tex>, такое что <tex>\alpha_i > 0</tex> и<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \alpha_j</tex> (где <tex>p_{ij}^{(n)}</tex> {{---}} вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов).}} === Для регулярных цепей ===Доказательство теоремы для случая регулярных цепей приведено в конспекте про [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема об эргодических распределенияхдля регулярных цепей | регулярные цепи]]. === Для циклических цепей ===

|about=Основная Эргодическая теорема об эргодических распределениях

Пусть Для любой эргодической цепи последовательность степеней <tex>\{X_n\}_P^{n \ge 0}</tex> - цепь Маркова с дискретным пространством состояний [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру] к предельной матрице <tex>A</tex>, и матрицей переходных вероятностей эта предельная матрица имеет вид <tex>P A = (p_\xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{ij---}})положительный вероятностный вектор,<tex>\; i,jxi</tex> - вектор-столбец из единиц.|proof=1  В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>,2которые периодически повторяются. Таким образом,\ldotsникакая степень матрицы переходов <tex>P</tex>. Тогда эта цепь не является эргодической тогда положительной матрицей, и только тогдаразличные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n}</tex> не может сходиться в обычном смысле, когда онадля нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру. # Неразложима Рассмотрим матрицу <tex>(kI + (т.е. цепь Маркова такова1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, что её состояния образуют лишь один неразложимый класс ~ 0 < k < 1<ref/tex>Свойство сообщаемости порождает на пространстве состояний [[Отношение эквивалентности|отношение эквивалентности]]. Порождаемые классы эквивалентности называются Эта матрица является '''неразложимыми классами'переходной матрицей''.Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</reftex>);# Положительно возвратна (т, следовательно, она также ''задает эргодическую цепь''.еТакже диагональные элементы этой матрицы положительны. находится в таком состоянииЗначит, выйдя из которого возвращается в него каждое состояние можно возвратиться за конечное время);один шаг, а это значит, что <tex>d = 1</tex>. Таким образом, новая цепь является регулярной. Из [[Регулярная марковская цепь# Апериодична Эргодическая теорема для регулярных цепей | эргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kI + (т.е. находится в таком состоянии, которое навещается цепью через промежутки времени, не кратные фиксированному числу1 - k)P).Эргодическое распределение ^{n}</tex> стремится к матрице <tex>A = \xi\mathbf{alpha</tex>, где <tex>\pi}alpha</tex> тогда является единственным решением системы{{---}} положительный вероятностный вектор. Таким образом: :<tex>A = \sumlim\limits_{i=0x\to \infty}(kI + (1 - k)P)^{\inftyn} \pi_i </tex>: <tex> A = 1,\; lim\pi_j limits_{x\ge 0,to \; \pi_j = infty} \sum\limits_{i=0}^{n} {n\inftychoose i} k^{n - i} (1 - k)^{i} \pi_i\, p_P^{iji}~~~~~ (1)</tex>Но последнее равенство в точности означает,\quad \, j\in \mathbbчто последовательность <tex>P^{Nn}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>A</tex>, причем суммируема при каждом значении <tex>k</tex>.}} ==== Следствия ====

* Для любого вероятностного вектора <tex>\pi</tex> последовательность <tex>\pi P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>\alpha</tex>* Вектор <tex>\alpha</tex> является единственным неподвижным вектором матрицы <tex>P</tex>* <tex>PA =AP =Пример==A</tex>[[File:Temp.gif|thumb|250px|Пример эргодической цепи]]proof=Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монетыДомножим <tex>(1)</tex> на <tex>\pi</tex>. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская цепь будет иметь 2 состояния.Рассмотрим матрицуТаким образом, мы получим, следующего вида: что предел последовательности <tex>p_\pi P^{ijn}</tex> в смысле Эйлера равен <tex>\pi A =0.5, i,j=1,2\pi \xi \alpha</tex>. Значит, '''первый факт''' доказан.

==СмТак как вектор <tex>\alpha</tex> был получен из предельной матрицы для <tex>(kI + (1 - k)P)</tex>, являющейся регулярной переходной матрицей, то он будет её единственным неподвижным вероятностным вектором. такжеНо матрица <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> должна иметь те же неподвижные векторы, что и <tex>P</tex>, так как из соотношения :<tex>\pi (kI + (1 - k)P) =\pi</tex>, следует, что :<tex>\pi (1 - k) P =\pi (1 - k)</tex>* [http:и поскольку <tex>k \ne 1</tex>, то <tex>\pi P = \pi</neerctex>.ifmoПолучается, что '''второй факт''' доказан.ru/mediawiki/index.php/Марковская_цепь Марковская цепь]

'''Третий факт''' следует из того, что <tex>P \xi =\xi</tex> для любой переходной матрицы и что <tex>\alpha P =Примечания==\alpha</tex>.}}

==Пример==[[File:Ergo.jpg‎|thumb|250px|Пример циклической цепи]]Самым простым примером циклической цепи является цепь из двух состояний, с переходной матрицей::<tex>P = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}<references /tex>.

Пусть <tex>\{X_n\}_{n \ge 0}</tex> — цепь Маркова с тремя состояниями Стационарным распределением этой цепи будет <tex>\{1,2,3\}</tex>, и её матрица переходных вероятностей имеет вид: <tex>P alpha = \left(\begin{matrix}0.5 & , 0.5 & 0 \\0.1 & 0.9 & 0 \\0 & 0 & 1\end{matrix}\right).</tex>Состояния этой цепи образуют два неразложимых класса: <tex>\{1,2\}</tex> и <tex>\{3\}</tex>. В частности, <tex>1 \leftrightarrow 2</tex>, но <tex>1 \not\rightarrow 3</tex> и <tex>3 \not\rightarrow 1</tex>.

Цепь Маркова, задаваемая матрицей переходных вероятностей: <tex>P = \left(\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0=См. также==\end{matrix}*[[Марковская цепь]]\right)</tex>,*[[Регулярная марковская цепь]]неразложима.*[[Примеры использования Марковских цепей]]

==СсылкиИсточники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение - Википедия]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Википедия {{---}} Эргодическое распределение ]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_распределение#.D0.94.D0.B8.D1.81.D0.BA.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F Википедия {{---}} Дискретное распределение ]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation Wikipedia {{--- Википедия}} Euler summation]*Дж. Кемени, Дж. Снелл {{---}} Конечные цепи Маркова {{---}} изд. "Наука", 1970 г. {{---}} 129 c.