Изменения

'''Эргодическая''' [[Марковская цепь|марковская цепь]] (англ. ''ergodic Markov chain'') {{---}} марковская цепь, целиком состоящая из одного [[Марковская цепь#sort_def| эргодического класса]].

В эргодической цепи можно выделить '''Эргодическое распределениециклические классы''' - распределение <tex>\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots англ. ''cyclic classes'')</tex>, такое что . Количество циклических классов <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N}d </tex> и<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{называют '''периодом цепи''' (nангл. ''period of Markov chain'')} = \pi_j, ~ \forall i \in \mathbb{N}</tex> (где <tex>p_{ij}^{(n)}</tex> - вероятность оказаться если цепь состоит целиком из одного циклического класса, её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]. С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в <tex>j</tex>-ом состоянииопределенном порядке, выйдя из причем каждые <tex>id</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов)шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе.

Эргодические Таким образом, эргодические цепи могут быть делятся на [[Регулярная марковская цепь|регулярнымирегулярные]] или и '''циклическимициклические'''. Циклические цепи отличаются от регулярных тем, что в процессе переходов через определенное количество шагов (цикл) происходит возврат в какое-либо состояние. Регулярные цепи этим свойством не обладают.

==Стационарный режимЭргодическая теорема ==Эргодические марковские цепи описываются [[Отношение связности, компоненты связности{{Определение|сильно связным графом]]definition='''Эргодическое (стационарное) распределение''' (англ. Это означает''stationary distribution'') {{---}} распределение <tex>\alpha = (\alpha_1 \ldots \alpha_n )</tex>, такое что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i\alpha_i > 0</tex> в любое состояние и<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \alpha_j</tex> (где <tex>S_p_{jij}, ^{(i,n)}</tex> {{---}} вероятность оказаться в <tex>j = 1</tex>-ом состоянии,2,...выйдя из <tex>i</tex>-ого,через <tex>n)</tex> за конечное число шаговпереходов).}} === Для регулярных цепей ===Доказательство теоремы для случая регулярных цепей приведено в конспекте про [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | регулярные цепи]].

=== Для эргодических циклических цепей при достаточно большом времени функционирования (==={{Теорема|about=Эргодическая теорема|statement=Для любой эргодической цепи последовательность степеней <tex>t P^{n}</tex> [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру] к предельной матрице <tex>A</tex>, и эта предельная матрица имеет вид <tex>A = \to xi\inftyalpha</tex>) наступает '''стационарный режим''', при котором вероятности где <tex>\pi_ialpha</tex> состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени{{---}} положительный вероятностный вектор, т.е. <tex>\pi_i = constxi</tex>- вектор-столбец из единиц.|proof=

В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex>\pi_{i} = \sum\limits_{j=1}^{n}(\pi_{j} \times p_{ji})</tex>, где которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>i = 1,2P</tex> не является положительной матрицей,и различные степени содержат нули на различных местах.С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется..Следовательно,последовательность <tex>P^{n}</tex>не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру.

Можно заметитьРассмотрим матрицу <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, что так как все свободные члены равны нулю, система ~ 0 < k < 1</tex>. Эта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет бесконечное число решений. Однакоположительные элементы на всех тех же местах, у нас есть дополнительные условия на решение: что и <tex>\sum\limits_{j=1}^{n}\pi_{i} = 1P</tex> и , следовательно, она также ''задает эргодическую цепь''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, в каждое состояние можно возвратиться за один шаг, а это значит, что <tex> \pi_i \ge 0 d = 1</tex>. Следующая теорема утверждает единственность решения такой системыТаким образом, новая цепь является регулярной.

==Основная теорема об эргодических распределениях=={{Теорема|about=Основная Из [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема об эргодических распределенияхдля регулярных цепей |statement=Для эргодической марковской цепи эргодическое распределение теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kI + (1 - k)P)^{n}</tex> стремится к матрице <tex>A = \mathbf{xi\alpha</tex>, где <tex>\pi}alpha</tex> является единственным решением системы{{---}} положительный вероятностный вектор. Таким образом: :<tex>A = \sumlim\limits_{i=0x\to \infty}(kI + (1 - k)P)^{\inftyn} \pi_i </tex>: <tex> A = 1,\; lim\pi_j \ge 0,limits_{x\; to \pi_j = infty} \sum\limits_{i=0}^{n} {n\inftychoose i} k^{n - i} (1 - k)^{i} \pi_i\, p_P^{iji}~~~~~ (1)</tex>Но последнее равенство в точности означает,\quad \, j\in \mathbbчто последовательность <tex>P^{Nn}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>A</tex>, причем суммируема при каждом значении <tex>k</tex>.

[[File:TempErgo.gifjpg‎|thumb|250px|Пример эргодической циклической цепи]]Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская Самым простым примером циклической цепи является цепь будет иметь 2 состояния. Состояние меняется на противоположное, при бросании монетыиз двух состояний, с вероятностью переходной матрицей::<tex>p P = \begin{pmatrix}0.5& 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}</tex>.

Рассмотрим матрицу, следующего вида: <tex>p_{ij}=0.5, i,j=1,2</tex>. Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение Стационарным распределением этой цепи будет <tex>\pi alpha = (0.5,0.5)^{\top}</tex>, такое что <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_j, i=1,2</tex>.

==СсылкиСм. также==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение - Википедия[Марковская цепь]]*[[Регулярная марковская цепь]]*[[Примеры использования Марковских цепей]]

==Литература==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Википедия {{---}} Эргодическое распределение ]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_распределение#.D0.94.D0.B8.D1.81.D0.BA.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F Википедия {{---}} Дискретное распределение]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation Wikipedia {{---}} Euler summation]*Дж. Кемени, Дж. Снелл "{{---}} Конечные цепи Маркова" {{--- Издательство }} изд. "Наука", 1970 г . {{--- }} 129 c.

[[Категория: Марковские цепи ]]