Изменения

'''Двойственный матроид''' (англ. ''dual matroid'') к <tex> M = \; \langle X, \mathcal{B } \rangle</tex> {{---}} это [[Определение_матроида | матроид]] <tex>M^* _1 = \; \langle X, \mathcal B^* _1 \rangle</tex>, где <tex> \mathcal B^* _1 = \; \{ \overline B |\; B \in \mathcal B \} </tex> {{---}} множество всех кобаз матроида <tex>M.</tex>}} {{Теорема|statement= Множество <tex>\mathcal B^*</tex> удовлетворяет [[Теорема_о_базах#base_theorem | аксиомам баз]].|proof= # Следует из <tex> | \mathcal B | = | \mathcal B^* | </tex>. # Предположим <tex>\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} </tex>. Тогда по второй аксиоме баз для <tex> B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B): </tex> <tex> \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 </tex>, а [[Теорема_о_базах#definition | определение базы]] гласит, что в таком случае <tex> B_1 = B_2 </tex>, тогда противоречие.# Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*</tex> и <tex> p\in \overline{B_1}.</tex> Так как <tex> p\notin {B_1},</tex> то в <tex> B_1 \cup p </tex> имеется цикл <tex>C</tex>, причём единственный (в противном случае для каких-нибудь двух циклов верно <tex> p \in C_1, C_2 </tex>, и по [[Теорема_о_циклах | 3-му свойству циклов]] <tex> \exists C_3 </tex> {{---}} цикл такой, что <tex> C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p </tex>, но кроме того выполнено <tex> (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 </tex> {{---}} противоречие). Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, так как разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{---}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.

'''Двойственный матроид''' к <tex> M = \; \langle X, I \rangle</tex> {{---}} это матроид <tex>M^* _2 = \langle X, I^* _2 \rangle</tex>, где <tex>I^* _2 = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing\}</tex>

|statement=Определения 1 и 2 эквивалентныМножество <tex>\mathcal B^*_1</tex> удовлетворяет [[Теорема_о_базах#base_theorem | аксиомам баз]].

Необходимо показать# Следует из <tex> | \mathcal B | = | \mathcal B^*_1 | </tex>. # Предположим <tex>\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*_1, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} </tex>. Тогда по второй аксиоме баз для <tex> B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B):\ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 </tex>, а [[Теорема_о_базах#definition | определение базы]] гласит, что в таком случае <tex> B_1 = B_2, </tex> пришли к противоречию.# Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*_1</tex> и <tex> p\in \overline{B_1}.</tex>#: Покажем, что в <tex> B_1 \cup p </tex> содержится ровно один цикл.#:: Так как <tex> p\notin {B_1}, </tex> то по определению базы <tex> B_1 \cup p \notin I </tex>, а значит существует цикл <tex>C \subseteq B_1 \cup p </tex>. #:: Убедимся также, что он единственный. Положим <tex> \exists C_1, C_2 \in \mathfrak{C}: \ C_1, C_2 \subseteq B_1 \cup p,\ C_1 \ne C_2 </tex>. Заметим, что <tex> p \in C_1, C_2 </tex>, в противном случае цикл не содержащий <tex> p </tex> был бы подмножеством <tex> B_1 </tex>, что невозможно. Следовательно по [[Теорема_о_циклах | 3-му свойству циклов]] <tex> \exists C_3 \in \mathfrak{C}: \ C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p </tex>. Но помимо этого выполнено <tex> (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 </tex> {{---}} противоречие. #: Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, так как разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{---}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.}} {{Теорема|statement=Матроиды <tex> M^*_1 </tex> и <tex> M^*_2 </tex> совпадают.|proof= Требуется доказать: <tex> I_1 I^*_1 = I_2 I^*_2. </tex>* <tex> A \in I_1 I^*_1 \Rightarrow A \in I_2 I^*_2 </tex>

*: Итак, возьмём <tex> B </tex> {{---}} базу <tex> M_1M^* _1 </tex>, включающую в себя <tex> A </tex>. По '''Согласно определению 1''' <tex> M^*_1 </tex> выполнено <tex>B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B </tex>. Поскольку <tex> B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B </tex>, то <tex> A \cap \overline B = \varnothing </tex>. В таком случае по '''определению 2''' <tex> M^*_2 </tex> выполняется <tex> A \in I_2 I^*_2 </tex>.

* <tex> A \in I_2 I^*_2 \Rightarrow A \in I_1 I^*_1 </tex>*: <tex> A \in I_2 I^*_2 </tex> означает , что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing </tex>. Последнее можно записать иначе: <tex> A \subseteq \overline B </tex>. *: Кроме того <tex> B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 </tex> по определению <tex> M_1M^* _1 </tex>. Получили <tex> A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 </tex>, откуда следует <tex> A \in I_1 I^*_1 </tex>.}} {{Теорема|statement=[[Определение матроида|Матроид]], двойственный к [[Примеры матроидов|матричному]] над телом <tex>F</tex>, так же является матричным над телом <tex>F</tex>|proof=: Пусть <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> {{---}} произвольный матричный матроид над телом <tex>F</tex>, <tex> X = \{1,\ldots,m\} </tex>, <tex>r</tex> {{---}} его [[Ранговая функция, полумодулярность|ранговая функция]]. Рассмотрим сначала крайний случай [[Примеры матроидов|тривиального]] и (двойственного к нему) [[Примеры матроидов|полного]] матроида. Они, очевидно, представимы над телом <tex>F</tex> нулевой и единичной матрицей соответственно. : Пусть теперь <tex>M</tex> {{---}} произвольный нетривиальный и не полный матричный матроид. Тогда <tex>M</tex> изоморфен матроиду столбцов некоторой <tex>(t \times m)</tex>-матрицы <tex>P</tex> над телом <tex>F</tex>. Т.к. матроид нетривиален и не полный, то <tex>rg(P) = r</tex> и <tex>0 < r < m </tex>. : Рассмотрим следующую однородную систему уравнений над пространством векторов-столбцов <tex>F^m</tex>: :: <tex>(1): PX=0</tex>.: Для задания базиса ФСР этой системы нам достаточно<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Решение_систем_линейных_алгебраических_уравнений Википедия {{---}} Решение систем линейных алгебраических уравнений]</ref> <tex>m - r</tex> линейно независимых векторов. Пусть :: <tex>(2): X_1, X_2,\ldots, X_{m-r}</tex>:{{---}} базис пространства решений системы (1). Составим из этих столбцов <tex>(m \times (m - r))</tex>-матрицу <tex>Q=(X_1, X_2, \ldots, X_{m-r})</tex>. Покажем, что матроид <tex>M^*</tex> изоморфен матроиду строк матрицы <tex>Q</tex> над телом <tex>F</tex>. Для этого нам достаточно установить, что система каких-либо <tex>r</tex> столбцов матрицы <tex>P</tex> линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима дополняющая ее система <tex>m - r</tex> строк матрицы <tex>Q</tex>. Дополняющая система строк {{---}} это система строк, номера которых дополняют номера столбцов исходной системы столбцов до множества <tex>\{1,\ldots, m\}</tex>.  :<tex>\Longrightarrow</tex>::Возьмем произвольную систему из r столбцов матрицы <tex>P</tex>. Для простоты обозначений будем считать, что взяты первые<tex>r</tex> столбцов (мы всегда можем переставить столбцы матрицы местами, не поменяв характера их линейной зависимости). Пусть <tex>P_1(t\times r)</tex> {{---}} подматрица матрицы <tex>P</tex>, составленная из взятых первых <tex>r</tex> столбцов. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений над пространством векторов-столбцов <tex>F^r</tex>: :::<tex>(3): P_1Y=0</tex>:: Пусть столбцы матрицы <tex>P_1</tex> линейно зависимы. Тогда система (3) имеет ненулевое решение <tex>Y</tex>. Добавим к нему снизу <tex>m - r</tex> нулей, получим ненулевое решение <tex>X</tex> системы (1). Выразим <tex>X</tex> через базис (2) пространства решений системы (1)::::<tex>(4): X=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X_{m-r}</tex>:: где среди коэффициентов есть хотя бы один ненулевой элемент из <tex>F</tex>. Введем в рассмотрение столбцы :::<tex>(5): X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r}</tex>:: из пространства <tex>F^{m-r}</tex>, полученные соответственно из столбцов <tex>X_1, X_2, \ldots, X_{m-r}</tex> отбрасыванием первых <tex>r</tex> компонент. Составим из этих "урезанных" столбцов <tex> ((m - r) \times (m - r))</tex>-матрицу <tex>Q_1 = (X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r})</tex>. Матрица <tex>Q_1</tex> {{---}} это квадратная матрица порядка <tex>m-r</tex>, которая является подматрицей матрицы <tex>Q</tex> и расположена внизу матрицы <tex>Q</tex>. Из равенства (4) следует, что ::: <tex>(6): 0=\alpha_1 X'_1 + \alpha_2 X'_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X'_{m-r}</tex>:: т.е. система столбцов квадратной матрицы <tex>Q_1</tex> линейно зависима. Тогда линейно зависима и система строк этой матрицы, т.е. линейно зависима система из <tex>m - r</tex> последних строк матрицы <tex>Q</tex>. Что и требовалось доказать.  :<tex>\Longleftarrow</tex>::Теперь докажем в обратную сторону. Пусть система каких-либо <tex>m - r</tex> строк матрицы <tex>Q</tex> линейно зависима. Для простоты обозначений будем считать, что эта система состоит из последних <tex> m - r </tex> строк матрицы <tex>Q</tex>. Тогда линейно зависима система (5) "урезанных" столбцов, составляющих матрицу <tex>Q_1</tex>. Следовательно, некоторая нетривиальная линейная комбинация (6) "урезанных" столбцов равна <tex>0</tex>. С помощью равенства (4) определим столбец <tex>X</tex>. Поскольку система столбцов (2) линейно независима, имеем <tex>X \ne 0</tex>. Столбец Х является решением системы (1), так как он равен линейной комбинации базиса пространства решений этой системы. Тогда столбец <tex>Y</tex>, полученный из столбца <tex>x</tex> отбрасыванием последних <tex>m - r</tex> нулевых компонент, является ненулевым решением системы (3). Следовательно, линейно зависима система из первых <tex>r</tex> столбцов матрицы <tex>P_1</tex>, что и требовалось доказать.

*[[Аксиоматизация матроида базами]]* [[Аксиоматизация матроида циклами]]* [[Теорема о базах]] == Примечания ==<references /> == Источники информации ==* [[wikipedia:ru:Матроид#Дополнительные_понятия | Википедия {{---}} Двойственный матроид]]* [[wikipedia:en:Dual matroid | Wikipedia {{---}} Dual matroid]]* ''Michel X. Goemans'' {{---}} Advanced Combinatorial Optimization, lection 8: Mathroids.* ''Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2'''