Изменения

СТАТЬЯ НЕ ЗАКОНЧЕНА!'''Задача (Парадокс) двух конвертов''' - — известный математический парадокс теории вероятностей.

{{Определение|id=идентификатор (необязательно), пример: def1. |neat = 0 - параметр нужен для того, чтобы определение не растягивалось на всю страницу(не обязательно)|definition=Есть два неразличимых конверта с деньгами. В обоих конвертах находится некая степень двойки денег, причем в одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньгиденежки. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой? Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. Если Х = 1, то менять точно выгодно. если Х другой, то в чужом конверте равновероятно может находиться <tex> 2X </tex> или <tex> X \over 2</tex>. Поэтому, если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет <tex> \tfrac{(2X + \tfrac{X}{2})}{2} = \tfrac{5}{4} X </tex>, т.е. больше, чем сейчас. Значит обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?}}

В данном рассуждении ошибка кроется * и так далее. тогда сумма всех вероятностей действительно <tex>(1-q) \cdot \frac{1}{(1-q)} = 1</tex> Итак, пусть нам дали конверт с суммой <tex>2^i</tex>. тогда вероятность того, что в предположении о томдругом конверте <tex>2^{i-1} \ </tex> — <tex> \ \frac{1}{(1+q)} </tex>, а того, что в другом конверте может ''равновероятно'' находится <tex> 2X 2^{i+1} \ </tex> — <tex> \ \frac{q}{(1+q)} </tex>  Тогда "в среднем" при обмене мы будем получать <tex>\left ( 2^{i-1} \cdot \frac{1}{(1+q)} + 2^{i+1} \cdot \frac{q}{(1+q)} \right ) = 2^i \cdot \left ( \frac{1 + 4q}{2 + 2q} \right ) </tex> или . При <tex> X q > \over frac{1}{2}</tex>последняя скобка больше единицы. Таким образом "в среднем" мы получим больше, чем <tex>2^i</tex>. Такое же рассуждение справедливо для обоих игроков. В действительности этого чем же тут ошибка рассуждения? А между тем ошибка тут психологическая. Ведь что человек понимает под понятием "в среднем"? Это некоторое "среднее значение", при условии, что число экспериментов очень велико.Рассчитаем математическое ожидание выигрыша, если мы не может бытьбудем менять конверты. <tex>E = \displaystyle \frac{(1 - q)}{2} \cdot 1 + \sum_{i=1}^{\infty} \left ( 2^i \cdot \frac{ (1 - q)q^{i-1} + (1-q)q^i }{2} \right ) = \frac{(1 - q)}{2} + (1 - q^2) \sum_{i=0}^{\infty} \left ( 2q \right )^i</tex>, а так как <tex>q > \frac{1}{2}</tex>, то под знаком суммирования стоит возрастающая геометрическая прогрессия, тогда <tex>E = \infty</tex>.

<tex>\Box</tex>== Ссылки ==Предположим от противного, что существует вероятностное распределение <tex>f(x)</tex>, определенное на степенях двойки так, что <tex>f(2^{x_1})</tex> - вероятность того, что в конвертах будут записаны <tex>2^{x_1}<[http:/tex> и <tex>2^{x_1 + 1}</tex>, причем значения этой функции на соседних степенях равны.Тогда значения этой функции вообще говоря должны быть равны на всех степенях, тru.еwikipedia. <tex>f(x)<org/tex> постоянна. Но <tex>\displaystyle \sum_{i=1}^\infty f(2^i) = 1<wiki/tex> (т.к это вероятностное распределение) Задача_о_двух_конвертах Википедия - противоречие.<tex>\blacksquare</tex>Парадокс двух конвертов]

Также есть формулировка парадокса, обходящая данное доказательство[http://sinset.com/ru/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%BE%D0%B2 Очень подробная статья про парадокс]

[[Категория: Теория вероятности]]