Изменения

Существует класс эволюционных алгоритмов, основывающихся на [[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем|индикаторах]] для решения задачи [[Задача многокритериальной оптимизации. Multiobjectivization|многокритериальной оптимизации]].В данной статье приводится доказательство правомерности использования индикатора [[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем#Гиперобъем|гиперобъема]] в качестве максимизируемого значения из работы <ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/homepage/tfried/paper/2010GECCO_Hyp.pdf Friedrich T., Bringmann K. - The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation]</ref>. ==Основные определения==

|id=definition1|about=1|definition=Множество <tex>X^* \subseteq X</tex> называется Парето оптимальным, еслифункций вида:<tex>\mathrm{\forall x^* \subset X^* \not \exists x \subset X f: x [a, A] \succ x^*}rightarrow [b, B]</tex>,где <tex> x \succ x^* </tex>(<tex>x</tex> доминирует <tex>x^*f</tex>)убывает и <tex> \leftrightarrow \leftf( \forall i \in 1 \ldots d: f_i(xa) \geq f_i= B, f(x^*) \right) \bigwedge \left( \exists i \in 1 \ldots d: f_i(x) > f_i(x^*)\rightA)= b</tex>  обозначим через <mathtex>P(X^*)\mathbb{F}</mathtex> - множество оптимальных по Парето решений, его также называют Парето-фронтом. Парето-фронт не может быть вычислен за полиномиальное время.

|id=definition6definition2|about=62|definition=Пусть Фиксируем <tex>n</tex>. Для фиксированного отрезка <tex>f \in \mathbb{F}[a, n \geq 3A]</tex> и будем называть кортеж <tex>X = \{(x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{X})</tex>. Наименьшим вкладом этого множества называется , такой что <tex>MinCon(X)= a \leq x_1 \min leq \limits_{2 ldots \leq i x_n \leq nA</tex> — множеством-1} (x_i-x_решением. Множество таких решений будем обозначать <tex>\mathbb{i-1X})(f(x_i)- f(x_{i-1}))</tex>.

=Связь между максимизацией гиперобъема и аппроксимацией Парето-фронта=Множество функций вида: <tex>f:[a,A] \rightarrow [b,B]</tex>, где <tex>f</tex> убывает и <tex>fMinCon(aX)=B, f(A)=b</tex> обозначим через <tex>\mathbbmin \limits_{F}</tex>.[[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем#Коэффициент апроксимации|Коэффициент апроксимации]] монотонно убывающих функций не зависит от масштабов отрезков <tex> [a,A]</tex> и <tex>[b,B] </tex>. Так как для фиксированных констант <tex> 2 \mu , leq i \nu </tex> функция <tex> leq n - 1} (x_i-x_{i - 1})(f^*:[ \mu a , \mu A ] \rightarrow [ \nu b , \nu B ]</tex> и <tex> f^*= \nu (x_i) - f(x/ \mu x_{i + 1})) </tex> имеет тот же коэффициент аппроксимации. Однако, коэффициент аппроксимации зависит от значений <tex>A/a</tex> и <tex>B/b</tex>. }}

Далее будем рассматривать только монотонно убывающие, [http://en.wikipedia.org/wiki/Semi-continuity полунепрерывные ] [[Задача многокритериальной оптимизации. Multiobjectivization#Множество Парето оптимальных значений|Парето-фронты]]. Условие полунепрерывности необходимо для того, [[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем#Индикатор Гиперобъемаstatement1|чтобы существовало множество -решение, максимизирующее индикатор гиперобъема]].

Рассмотрим оптимальный коэффициент апроксимации для данного Парето-фронта из <tex>n (</tex> точек <tex> \alpha _{OPT}</tex>) и верхнюю границу коэффициента аппроксимации для множества из <tex>n </tex> точек, максимизирующего значение индикатора гиперобъема (<tex> \alpha _{HYP}</tex>) , и докажем, что для количества точек <tex> n </tex> они одинаковы, а именно равны <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>.

Тогда существует, не обязятельно единственное, множество решения -решение <tex>X \in \mathbb{X}</tex>, которое максимизирует значение [[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем#Индикатор Гиперобъема|гиперобъема]] (<tex>HYP(X)</tex>) на <tex>\mathbb{X}</tex>|proof= Доказательство представлено в статье [[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем#Индикатор Гиперобъема]]

В статье [[Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем#Индикатор Гиперобъема#statement5Аппроксимация функции и ее свойства| Утверждение(3)Эволюционные алгоритмы многокритериальной оптимизации, основанные на индикаторах. Гиперобъем]] ограничивает значение представленно доказательство верхней границы оптимального коэффицента апроксимации сверху: <tex>1 + \frac{\log (\min ( \frac{A}{a}, \frac{B}{b}))}{n}</tex> = <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>.

==Нахождение коэффициента аппроксимации множества -решения максимизируюшего гиперобъем==

|about=2|id=statement2|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \geq 3</tex> и <tex>X= \{(x_1, x_2, \ldots, x_d \} x_n ) \in X </tex>.Тогда [[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Сложность_задачи_вычисления_Least_Hypervolume_Contributor_и_задачи_его_аппроксимации| MINCON]] минимальный вклад данного множество множества-решения:

<tex>MINCONMinCon(X) \leq \frac{(x_n - x_1)(f(x_1) - f(x_n))}{(n-2)^2}</tex>

Исходя из определения минимальный вклад в гиперобъем множества равен минимуму из всевозможных площадей прямоугольников, образующихся между соседними точками множества -решения и их значениями.Пусть <tex>a_i, b_i</tex> - длины сторон соответствующего прямоугольника, тогда:Примеры образующихся прямоугольников заштрихованы на рисунке ниже

[[Файл:Untitled2.jpg]] Пусть <tex>a_i, b_i </tex> — длины сторон соответствующего прямоугольника, тогда: <tex> a_i \geq MINCONMinCon(X)/b_i</tex>, для любого всех <tex>2 \leq i \leq in [2, n - 1]</tex>

<tex> \sum\limits_{i=2}^{n-1} MINCONMinCon(x)/b_i \leq \sum\limits_{i=2}^{n-1} a_i \leq \sum\limits_{i=2}^{n} a_i = \sum\limits_{i=2}^{n} x_i - \sum\limits_{i=1}^{n-1} x_i = x_n - x_1 </tex>

<tex>MINCONMinCon(X) \leq \frac{(x_n - x_1)}{\sum\limits_{i=2}^{n-1}1/b_i}</tex>

<tex> MinCon(X) \leq \frac{n x_n - 2x_1}{\sum\limits_{i=2}^{n-1}1/b_i} \leq \frac{(x_n - x_1)\sum\limits_{i=2}^{n-1}1/b_i}{(n - 2)^2} \leq \frac{(x_n - x_1)(f(x_1) - f(x_n))}{(n - 2)^2}</tex>  Преобразуя, получаем искомое.

Далее необходимо посчитать коэффициент аппроксимации для "внутренних" «внутренних» (<tex>x \in [x_1, x_n]</tex>) и "внешних" «внешних» точек (<tex>x < x_1</tex> или <tex>x > x_n</tex>).

|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n > 4</tex>. Любое множество -решение <tex>\{(x_1, x_2, \ldots, x_d) \} in \in X_mathbb{HYPX}^f </tex> достигает <tex>\alpha = 1 + \frac{ \sqrt{A/a} + \sqrt{B/b} }{n - 4}</tex> мультипликативной аппроксимации всех внутренних точек.

Доказательство производится от противного, принимая предположениеДопустим, что существует такой <tex> x</tex>, для которого бы который не выполнялось условие аппроксимации при данном коэффициенте.}} {{Теорема|about=2|id=theorem2|statement=Пусть аппроксимируется <tex>f \in \mathbb{F}, n > 3</tex>. И <tex> R alpha = (R_x, R_y) \leq (0, 0) </tex> является точкой отсчета. Каждое множество решение <tex>1 + \frac{x_1, x_2, \ldots, x_d\} \in X_sqrt{HYPA/a}^f </tex> достигает <tex>1 + \fracsqrt{AB/b}}{(a - R_x)(n - 2)^24}</tex> мультипликативной аппроксимации всех точек с .Пусть <tex>x_i < x < x_1x_i + 1</tex>, и достигает тогда <tex>1 + x > \frac{B}{alpha x_i, f(b - R_yx)> \alpha f(n - 2x_{i + 1})^2}</tex> мультипликативной аппроксимации всех точек с <tex>x > x_n</tex>.|proof=Доказательство производится c использованием ранее доказанного утверждения о MINCON.}}

Совместно [[#theorem1|теоремаПосле подстановки получим <tex>MinCon(X) > (\alpha - 1)^2 x_i f(x_{i + 1})]] и [[#theorem2|теорема</tex> (21)]] приводят к следующим следствиям:.

'''Следствие 1:''' <tex>\alpha_{opt} = 1 + \ThetaПрименив [[#statement2|утверждение (1/n2)</tex>]], получим:

Пусть <tex>MinCon(X) \leq (x_i - x_1)(f(x_1) - f (x_i))/(i - 2)^2 \in \mathbb{F}, n > 4leq x_iB/(i - 2)^2</tex>, и для всех <tex> R = (R_x, R_y) i \leq (0in [3, 0) n - 1]</tex> является точкой отсчета. Тогда: (2)

<tex> MinCon(X) \lambda_leq (x_n - x_{HYPi + 1} \leq 1 + \max{ \frac)(f(x_{ \sqrt{A/a} i + \sqrt{B/b1} }{n ) - 4}}{\frac{A}{f(a - R_xx_n))/(n - i - 2)^2}}{\fracleq A f(x_{Bi + 1}{(b - R_y)/(n - i - 2)^2}}</tex> для всех <tex>i \in [1, n - 3]</tex> (3)

'''Следствие Т.к. <tex>\frac{\sqrt{x_iB}}{i - 2}</tex> монотонно убывает, а <tex>\frac{\sqrt{A f(x_{i + 1})}}{n - i - 2:''' }</tex> монотонно возрастает, то максимальное значение <tex>\alpha_min \{\frac{opt\sqrt{x_iB}}{i - 2} = 1 + ,\frac{\Thetasqrt{A f(x_{i + 1/})}}{n)- i - 2}\}</tex>достигается при равенстве обоих членов:

Пусть <tex>f \in frac{\mathbbsqrt{x_iB}}{Fi - 2}, n > 4</tex>. И <tex> R = \frac{\sqrt{A f(R_x, R_yx_{i + 1}) }}{n - i - 2} \Leftrightarrow i = 2 + \leq frac{(0, 0n - 4) \sqrt{B/b}}{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}</tex> является точкой отсчета. Тогда если

Получим верхнюю оценку для <tex>\alpha</tex>: <tex> n \geq 2 alpha < 1 + \maxfrac{\sqrt{A/a}}{+ \sqrt{B/b}}{n - 4}</tex>.

Для <tex>R_x i = 1, 2</tex> из (1) и (3) следует, что <tex>\alpha < 1 + \leq - frac{\sqrt{AaA/a}/}{n, R_y - i - 2} \leq - 1 + \frac{\sqrt{BbA/a}}/{n- 4}</tex>,выполняется следующее неравенствочто невозможно по условию теоремы.

Для <tex> \alpha _{HYP} \leq 1 + \frac{ \sqrt{ \frac{A}{a}} + \sqrt{ \frac{B}{b}}}{n - 4}</tex> = <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>, то есть <tex> \alpha _{HYP} </tex> = <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>, что и требовалось доказать.   {{Утверждение|id=statement5|about=5|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n \geq 3</tex> и <tex>X i = \{x_1, \ldots, x_n\} \in \mathbb{X}</tex>, тогда<tex>MinCon(X) \leq \frac{(x_n-x_1)(f(x_1)-f(x_n))}{(n-2)^2}</tex>.|proof=Пусть <tex>a_i=x_i-x_{i-1}</tex> <tex>\forall i \in [2,n]</tex> и <tex>b_i=f(x_i)-f(x_{i-1})</tex> <tex>\forall i \in [по (1,n-1]</tex>.Подставив в [[#definition6|определение(6)]], получим: <tex>MinConи (X)= \min \limits_{2 \leq i \leq n-1} a_i b_i \Leftrightarrow a_i \geq MinCon(X) / b_i \forall i \in [2, n-1]</tex> \alpha <tex>\sum \limits_{i=2}^{n-1} MinCon(X) / b_i + \leq \sum \limits_frac{i=2}^{n-1} a_i \leq \sum \limits_sqrt{i=2B/b}^{n} a_i = \sum \limits_{i=- 2}^{n}x_i - \sum \limits_{i=1}^{n-1}x_i=x_n-x_1 </tex> Тогда <tex>MinCon(X) \leq \frac{x_n-x_1}{\sum \limits_{i=2}^{n-1}1/b_i}</tex>. Cреднее гармоническое меньше среднего арифметического, поэтому<tex>MinCon(X) \leq + \frac{x_n-x_1}{\sum \limits_sqrt {i=2}^{n-1}1B/b_ib} \leq \frac{(x_n-x_1)\sum \limits_{i=2}^{n-1}b_i}{(n-2)^2} \leq \frac{(x_n-x_1)(f(x_1)-f(x_n))}{(n-2)^24}</tex>, что тоже невозможно по условию теоремы.

|about=2|id=theorem2|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n > 43</tex> и . И <tex>X R = (R_x, R_y) \{ leq (0, 0) </tex> является точкой отсчета. Каждое множество-решение <tex>(x_1, x_2, \ldots, x_n \} ) \in \mathbb{X}</tex>. Тогдадостигает <tex>\alpha = 1 + \frac{\sqrtA}{A/(a- R_x)(n - 2)^2} </tex> аппроксимации всех точек с <tex>x < x_1</tex> и <tex>1 + \sqrtfrac{B/b}}{(b - R_y)(n-42)^2}</tex> аппроксимации всех точек с <tex>x > x_n</tex>.

Допустим, что существует Доказательство производится c использованием [[#statement2|ранее доказанного утверждения]] о <tex>x</tex>, который не аппроксимируется <tex>\alpha = 1 + \frac{\sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}{n-4}MinCon</tex>.Пусть <tex>x_i < x < x_i+1</tex>, тогда <tex>x > \alpha x_i, f(x) > \alpha f(x_{i+1})</tex>.}

После подстановки получим <tex>MinConИз [[#theorem1|теоремы (X1) > ]] и [[#theorem2|теоремы (\alpha - 1)^2 x_i f(x_{i+1})</tex> (1).]] выводятся следующие следствия:

Применив [[#statement5{{Утверждение|утверждение(5)]], получим:about=Следствие 1|statement=

Пусть <tex>f \forall i in \in [3mathbb{F}, n-1]> 4</tex> , и <tex>MinConR = (XR_x, R_y) \leq (x_i-x_10, 0)(f(x_1)-f(x_i))/(i-2)^2 \leq x_iB/(i-2)^2</tex> (2)является точкой отсчета. Тогда:

<tex>\forall i alpha_{HYP} \in [leq 1, + \max \{ \frac{ \sqrt{A/a} + \sqrt{B/b}}{n-3]</tex> <tex>MinCon(X) 4}, \leq (x_n-x_frac{i+1A}){(f(x_{i+1})a -f(x_n)R_x)/(n-i-2)^2 }, \leq A f(x_frac{i+1B}{(b - R_y)/(n-i-2)^2}\}</tex>}}{{Утверждение|about=Следствие 2|statement=Пусть <tex>f \in \mathbb{F}, n > 4</tex> . И <tex> R = (3R_x, R_y)\leq (0, 0) </tex> является точкой отсчета. Тогда если

Таким образом, <tex>(n \alpha - 1)^geq 2 x_i f(x_{i+1}) < \min max \{\frac{x_iB}{(i-2)^2} ,\fracsqrt{A f(x_{i+1})}{(n-i-2)^2}\} \Leftrightarrow</tex> <tex>\alpha < 1 + \min \{\frac{\sqrt{x_iB}}{i-2a} ,\frac{\sqrt{A f(x_{i+1})}}{n-i-2B/b}\}</tex>.

<tex>R_x \frac{\sqrt{x_iB}}{ileq -2} = \frac{\sqrt{A f(x_{i+1Aa})}}{/n-i-2}, R_y \} \Leftrightarrow i = 2 + \frac{(nleq -4)\sqrt{B/b}}{\sqrt{A/aBb} + \sqrt{B/b}}n</tex>.,выполняется следующее неравенство

Получим верхнюю оценку для <tex>\alpha</tex>: <tex>_{HYP} \alpha < leq 1 + \frac{\sqrt{ \frac{A/}{a}} + \sqrt{ \frac{B/}{b}}}{n-4}</tex>.= <math> 1 + \Theta ( \frac{1}{n}) </math>,

Вышесказанное верно для <tex>3 \leq i \leq n-3</tex>. Для <tex>i = 1, 2</tex> из (1) и (3) следует, что <tex>\alpha < 1 + \frac{\sqrt{A/a}}{n-i-2} \leq 1 + \frac{\sqrt{A/a}}{n-4}</tex>, что невозможно по условию теоремы. Для <tex>i = n-2, n-1</tex> по (1) и (2) <tex>\alpha < 1 + \frac{ \sqrt{B/b} } {i-2} \leq 1 + \frac {\sqrt {B/b} } {n-4}</tex>, что тоже невозможно по условию теоремы.то есть

Конечно, зависимость от <tex> [a,A]</tex> и <tex>[b,B] </tex> в аппроксимационном коэффициенте оптимального множества решения меньше , чем в аппроксимационном коэффициенте для множества, максимизирующего гиперобъем. Однако, полученная граница для коэффициента аппроксимации является верхней. На рисунке ниже можно увидеть пример поведения данных значений для определенного класса функций<tex>f \in \mathbb{F}</tex>, <tex> f:[1, 100] \rightarrow [1, 100]</tex>.

# [http:<references//www.mpi-inf.mpg.de/homepage/tfried/paper/2010GECCO_Hyp.pdf Friedrich T., Bringmann K. - The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation]>