Квадратичные формы

Основные определения

[math]\mathbb{R}[/math]. Пусть [math]\Phi(x,y)[/math] - симметричная билинейная форма, т.е. [math]\Phi(x,y) = \sum\limits_{i,k=1}^n \varphi_{ik} \cdot \xi^k \cdot \eta^k[/math] (1), причем: [math]\Phi=||\varphi||:\varphi_{ik}=\varphi_{ki}[/math] (т.е. [math]\Phi=\Phi^T[/math], т.е. симметрична)

[math]\mathbb{C}[/math]. Пусть [math]\Phi(x,y)[/math] - эрмитова форма, т.е. [math]\Phi(x,y) = \displaystyle \sum_{i,k=1}^n \varphi_{ik} \cdot \xi^i \cdot \overline\eta^k[/math] (2), где [math]\Phi=||\varphi_{ik}||:\varphi_{ik}=\overline{\varphi_{ki}}[/math] (т.е. [math]\Phi=\overline{\Phi^T}=\Phi^*[/math], т.е. эрмитова)

Определение:

Квадратичной формой называется [math]\Phi(x,x)[/math], полученная взятием [math]y=x[/math]

Пример.

[math]\mathbb{E}=\mathbb{R}^3[/math]

[math]\Phi(x,x) = 2(\xi^1)^2+4\xi^1\xi^2-(\xi^3)^2[/math]

[math]\Phi=||\{2,2,0\},\{2,0,0\},\{0,0,1\}||[/math] - матрица по строкам

Преобразование матрицы квадратичной формы при замене базиса.

С. [math]\{e_i\}^n \rightarrow \{e_k\}_{k=1}^n[/math]

[math]\varphi_{ik}=\Phi(e_i,e_k)[/math]

[math]\widehat{\varphi_{ik}}=\Phi(\widehat{e_i},\widehat{e_k}) = \Phi(\tau_i^se_s,\tau_k^te_k) = \tau_i^s\overline{\tau_k^t}\Phi(e_s,e_k)=\tau_s^i\varphi_{sk}\overline{\tau_k^t}[/math]

[math]\widehat{\Phi} = T^T \cdot \Phi \cdot \overline{T}[/math] (для [math]\mathbb{C}[/math]) (*)

[math]\Phi = T^T \cdot \Phi \cdot T[/math] (для [math]\mathbb{R}[/math]) (**)

Приведение к каноническому виду методом Лагранжа

Определение:

[math]\mathbb{R}[/math]: [math]\Phi(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i(\xi^i)^2[/math] (3) [math]\mathbb{C}[/math]: [math]\Phi(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i|\xi^i|^2[/math] (4)

Пример.

[math]\Phi(x,x)=4x_1^2+4x_1x_2+5x_2^2 = (2x_1+x_2)^2+4x_2^2[/math]

[math]\widehat{x_1} = 2x_1+x_2[/math]

[math]\widehat{x_2}=x_2[/math]

[math]\widehat{\Phi}(x,x)=\widehat{x_1^2}+4\widehat{x_2^2}[/math]

Приведение к каноническому виду унитарным преобразованием

Рассмотрим (*) [math]\Phi = T^T\cdot \Phi \cdot \overline{T}[/math] (для С)

Рассмотрим [math]\Phi = \Phi^* = \overline{\Phi^T} в \{e_1, e_2, ..., e_n\}[/math]

1) [math]\sigma_{\Phi} \in \mathcal{R}[/math]

2) из собственных вектором [math]\Phi[/math] можно сделать ортонормированный базис [math]\mathcal{E}[/math]

Пусть [math]T[/math] - унитарная [math]T^{-1} = \overline{T^T} \Rightarrow T^T = \overline{T^{-1}} = (\overline{T})^{-1}[/math]

[math]\widehat{\Phi} = (\overline{T})^{-1} \cdot \Phi \cdot T[/math]

Спектральный анализ [math]\Phi[/math]

1) [math]\sigma_{\Phi} = \{\lambda_1, ..., \lambda_n\} \subset \mathcal{R}[/math]

2) Ортонормированный базис из собственных векторов [math]\{e_1,...,e_n\}[/math]

[math]U = (e_1,...,e_n)[/math]

[math]\overline{T} = U[/math]

[math]\widehat{\Phi} = U^{-1} \cdot \Phi[/math]

Закон инерции квадратичной формы

Теорема:

Каким бы способом квадратичная форма не была бы приведена, количество положительных, отрицательных и нулевых [math]\lambda[/math] постоянно. индексы инерции: [math]n_{+}[/math] [math]n_{-}[/math] [math]n_{0}[/math] [math](n_{+}, n_{-}, n_{0})[/math] - сигнатура квадратичной формы.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\Phi(x,x) = \lambda_1|\xi^1|^2+...+\lambda_p|\xi^p|^2+ \lambda_{p+1}|\xi^{p+1}|^2 +...+\lambda_{p+q}|\xi^{p+q}|^2[/math] [math]\Phi(x,x) = \widehat{\lambda}_{1}|\xi^{1}|^2 +...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}}|\xi^{\widehat{p}}|^2+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+1}|\xi^{\widehat{p}+1}|^2+...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+\widehat{q}}|\xi^{\widehat{p}+\widehat{q}}|^2[/math] [math]p+q\leqslant dim E=n[/math] [math]\lambda_i \gt 0[/math] для [math]i=1,...,p[/math] [math]\lambda_j \lt 0[/math] для [math]j=p+1,p+q[/math] [math]\widehat{p}+\widehat{q} \leqslant n[/math] [math]\widehat{\lambda_i} \gt 0[/math] для [math]i=1,...,\widehat{p}[/math] [math]\widehat{\lambda_j} \lt 0[/math] для [math]j=\widehat{p}+1, \widehat{p}+\widehat{q}[/math] Надо: [math]p=\widehat{p}[/math] (?), [math]q=\widehat{q}[/math] (?) [math]\lt - U[/math]: 1) Пусть [math]p \gt \widehat{p}[/math]; п.п. [math]L = [/math]л.о. [math]\{e_1,...,e_p\}[/math], [math]dim L=p[/math] [math]\widehat{L} = [/math] л.о. [math]\{\widehat{e}_{\widehat{p}+1},...,\widehat{e}_{\widehat{p}+\widehat{q}},...,\widehat{e}_n\}[/math] [math]\dim \widehat{L}=n-\widehat{p}[/math] [math]\dim L + \dim \widehat{L} = (p-\widehat{p})+n \gt n[/math] [math]\dim L + dim \widehat{L} = dim (L+\widehat{L}) + dim (L \cap \widehat{L})[/math] [math]\dim L + dim \widehat{L} \gt n[/math] [math]dim (L+\widehat{L}) \geqslant n[/math] [math]dim (L \cap \widehat{L}) \geqslant 1[/math] [math]L per \widehat{L} \ne \{Ox\} \Rightarrow \exists z \in L, z \in \widehat{L} (z \ne 0)[/math] [math]\Phi(z,z) \gt 0, \Phi(z,z) \leqslant 0 \Rightarrow p\gt \widehat{p} и p \lt \widehat{p}[/math] - неверно [math]\Rightarrow[/math] [math]p\leqslant\widehat{p}[/math] и [math]p\geqslant\widehat{p} \Rightarrow p = \widehat{p}[/math], ч.т.д.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Для того, чтобы квадратичная форма была бы положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы её [math]n_+=n[/math] (размерность пространства)

Одновременное приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов

Теорема:

Пусть [math]\Phi(x,x)[/math],[math]\Psi(x,x)[/math] - квадратичные формы в [math]\mathbb{C}[/math] Пусть [math]\Psi(x,x)[/math] - положительно определена. Тогда [math]\exists[/math] ортонормированный базис пространства [math]E[/math], в котором обе формы имеют канонический вид.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1) Рассмотрим в [math]\Psi(x,x) \lt -\gt [/math] эрмитовы [math]\Psi(x,y)[/math] - это м.б. [math]\lt ; \gt _{Y}[/math] в [math]E[/math] Стало [math]\lt x,y\gt _{\Psi} = \Psi(x,y)[/math] Пусть [math]{e_i}_{i=1}^n[/math] - ортонормированный базис [math]\Phi, \Psi[/math] [math]\lt \mathcal{U}x,\mathcal{U}y\gt =\lt x,y\gt [/math] [math]\lt e_i^{'},e_j^{'}\gt =\lt \widehat{e}_i,\widehat{e}_j\gt =\delta_{ij}[/math] [math]\widehat{\Psi}(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n 1 \cdot |\widehat{\xi_i}|^2[/math] [math]\widehat{\Phi}(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot |\widehat{\xi_i}|^2[/math] Рассмотрим [math]\det (\Phi-\lambda \cdot \Psi) = 0 -\gt ... -\gt \{\lambda_1,...,\lambda_n\}[/math] [math]\det (\Phi^{'}-\lambda \cdot E) = 0[/math] [math]\det (\Phi - \lambda \cdot \Psi) = det (T \cdot (\Phi^{'}-\lambda \cdot E) \cdot \overline{T^T})=0[/math] [math]\det T \ne 0[/math], [math]\det \overline{T^T} \ne 0[/math]

[math]\triangleleft[/math]