1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
== Приведение к каноническому виду унитарным преобразованием ==
Рассмотрим (*) <tex>\Phi = T^T\cdot \Phi \cdot \overline{T}</tex> (для С)
Рассмотрим <tex>\Phi = \Phi^* = \overline{\Phi^T} в \{e_1, e_2, ..., e_n\}</tex>
1) <tex>\sigma_{\Phi} \in \mathcal{R}</tex>
2) из собственных вектором <tex>\Phi</tex> можно сделать ортонормированный базис <tex>\mathcal{E}</tex>
Пусть <tex>T</tex> - унитарная <tex>T^{-1} = \overline{T^T} => \Rightarrow T^T = \overline{T^{-1}} = (\overline{T})^{-1}</tex>
<tex>\widehat{\Phi} = (\overline{T})^{-1} \cdot \Phi \cdot T</tex>
<tex>\Phi(x,x) = \widehat{\lambda}_{1}|\xi^{1}|^2 +...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}}|\xi^{\widehat{p}}|^2+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+1}|\xi^{\widehat{p}+1}|^2+...+\widehat{\lambda}_{\widehat{p}+\widehat{q}}|\xi^{\widehat{p}+\widehat{q}}|^2</tex>
<tex>p+q<=\leqslant dim E=n</tex>
<tex>\lambda_i > 0</tex> для <tex>i=1,...,p</tex>
<tex>\lambda_j < 0</tex> для <tex>j=p+1,p+q</tex>
<tex>\widehat{p}+\widehat{q} <= \leqslant n</tex>
<tex>\widehat{\lambda_i} > 0</tex> для <tex>i=1,...,\widehat{p}</tex>
<tex>\dim L + dim \widehat{L} > n</tex>
<tex>dim (L+\widehat{L}) >= \geqslant n</tex>
<tex>dim (L \cap \widehat{L}) >=\geqslant 1</tex>
<tex>L per \widehat{L} \ne \{Ox\} => \Rightarrow \exists z \in L, z \in \widehat{L} (z \ne 0)</tex>
<tex>\Phi(z,z) > 0, \Phi(z,z) <= \leqslant 0 => \Rightarrow p>\widehat{p} и p < \widehat{p}</tex> - неверно <tex>=>\Rightarrow</tex> <tex>p<=\leqslant\widehat{p}</tex> и <tex>p>=\geqslant\widehat{p} => \Rightarrow p = \widehat{p}</tex>, ч.т.д.
}}
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\Phi(x,x)</tex>,<tex>\Psi(x,x)</tex> - квадратичные формы в <tex>\mathcalmathbb{C}</tex>
Пусть <tex>\Psi(x,x)</tex> - положительно определена.
<tex><e_i^{'},e_j^{'}>=<\widehat{e}_i,\widehat{e}_j>=\delta_{ij}</tex>
<tex>\widehat{\Psi)}(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n 1 \cdot |\widehat{\xi_i}}|^2</tex>
<tex>\widehat{\Phi)}(x,x)=\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i \cdot |\widehat{\xi_i}}|^2</tex>
Рассмотрим <tex>\det (\Phi-\lambda \cdot \Psi) = 0 -> ... -> \{\lambda_1,...,\lambda_n\}</tex>
