Построение компонент рёберной двусвязности — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Удалено содержимое страницы)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 44 промежуточные версии 10 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
Построение компонент реберной двусвязности будет осуществляться с помощью [[Обход в глубину, цвета вершин|обхода в глубину]].
  
 +
== Двупроходный алгоритм ==
 +
 +
Первый способ найти искомые компоненты {{---}} сначала определить критерий перехода в новую [[Отношение реберной двусвязности#Компоненты реберной двусвязности|компоненту реберной двусвязности]], а затем покрасить вершины графа в нужные цвета.
 +
 +
Определим критерий перехода к новой компоненте.
 +
Воспользуемся ранее доказанной [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммой]]. Получается {{---}} перешли по мосту, следовательно началась новая компонента.
 +
 +
'''Первый проход:''' запустим [[Использование обхода в глубину для поиска мостов|алгоритм для поиска мостов]], чтобы посчитать две величины: <tex>tin(v)</tex> и <tex>up(v)</tex>.
 +
 +
'''Второй проход:''' окрашиваем вершины, т.е. если перешли по мосту, то оказались в новой компоненте реберной двусвязности.
 +
 +
=== Псевдокод второго прохода ===
 +
* В переменной <tex>\mathtt{color}</tex> хранится цвет текущей компоненты.
 +
* <tex>\mathtt{maxColor}</tex> изначально равен <tex>0</tex>, что эквивалентно тому, что никакая компонента не окрашена.
 +
 +
'''function''' paint(<tex>v</tex>, color):
 +
  colors[<tex>v</tex>] = color
 +
  '''for''' <tex>(u, v) \in E</tex>:
 +
    '''if''' colors[<tex>u</tex>] == 0:
 +
      '''if''' up[<tex>u</tex>] > tin[<tex>v</tex>]:
 +
        maxColor++
 +
        paint(<tex>u</tex>, maxColor)
 +
      '''else''':
 +
        paint(<tex>u</tex>, color)
 +
 +
'''function''' solve():
 +
  '''for''' <tex>v \in V</tex> :
 +
    colors[<tex>v</tex>] = 0
 +
    '''if''' '''not''' visited[<tex>v</tex>]
 +
      dfs(<tex>v</tex>)
 +
  maxColor = 0
 +
  '''for''' <tex>v \in V</tex> :
 +
    '''if''' colors[<tex>v</tex>] == 0:
 +
      maxColor++
 +
      paint(<tex>v</tex>, maxColor)
 +
 +
Вершины каждой из компонент реберной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.
 +
 +
Время работы алгоритма будет время работы двух запусков dfs, то есть  <tex>2 \cdot O(|V| + |E|)</tex>, что есть  <tex> O(|V| + |E|)</tex>.
 +
 +
== Однопроходный алгоритм ==
 +
 +
 +
Однопроходный алгоритм строится на базе алгоритма поиска мостов. Во-первых, создадим глобальный [[Стек|стек]], и при спуске по дереву <tex> dfs </tex> добавляем в него вершины. Во-вторых, когда возвращаемся назад, проверяем не является ли ребро мостом (при помощи [[Использование обхода в глубину для поиска мостов#Лемма | леммы]]). Если это так, то все вершины, находящиеся до текущего потомка в стеке, принадлежат одной компоненте.Заметим, что эта компонента будет висячей вершиной в дереве блоков и мостов, так как обходили граф поиском в глубину. Значит, ее можно выкинуть и продолжить поиск в оставшемся графе. Действуя по аналогии в получившемся графе, найдем оставшиеся компоненты реберной двусвязности.
 +
 +
=== Псевдокод ===
 +
 +
'''function''' paint(<tex>v</tex>):
 +
  maxColor++
 +
  last = -1
 +
  '''while''' last != <tex>v</tex> '''and''' '''not''' stack.empty()
 +
    colors[stack.top()] = maxColor
 +
    last = stack.top()
 +
    stack.pop()
 +
 +
'''function''' dfs(<tex> v </tex>)
 +
  time =  time + 1
 +
  stack.push(<tex>v</tex>)
 +
  tin[<tex>v</tex>] = time
 +
  up[<tex>v</tex>] = time
 +
  '''for''' <tex> (v, u) \in E</tex>:
 +
    '''if''' <tex>(v, u)</tex> — обратное ребро
 +
      up[<tex>v</tex>] = min(up[<tex>v</tex>], tin[<tex>u</tex>])
 +
    '''if''' '''not''' visited[<tex>u</tex>]
 +
      dfs(<tex>u</tex>)
 +
      up[<tex>v</tex>] = min(up[<tex>v</tex>], up[<tex>u</tex>])
 +
      '''if''' up[<tex>u</tex>] > tin[<tex>v</tex>]
 +
        paint(<tex>u</tex>)
 +
 +
Так же после вызова dfs нужно не забыть в конце вызвать ещё раз paint.
 +
 +
Теперь две вершины имеют одинаковый цвет тогда и только тогда, когда они принадлежат одной компоненте реберной двусвязности.
 +
 +
Время работы dfs <tex> O(|V| + |E|)</tex>. Покраска за <tex> O(|V|) </tex>.
 +
Итоговое время работы алгоритма <tex> O(|V| + |E|)</tex>.
 +
 +
== См. также ==
 +
* [[Построение компонент вершинной двусвязности]]
 +
* [[Использование обхода в глубину для поиска мостов]]
 +
 +
== Источники информации ==
 +
* ''Седжвик Р.'' Фундаментальные алгоритмы на C++. Часть 5: Алгоритмы на графах. Пер. с англ. — СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. — С. 123-128
 +
* ''Кузнецов В.А., Караваев. А.М.'' "Оптимизация на графах" - Петрозаводск, Издательство ПетрГУ 2007
 +
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/bridges-2001| Визуализация {{---}} Построение компонент реберной двусзяности]
 +
 +
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория: Обход в глубину]]

Текущая версия на 19:17, 4 сентября 2022

Построение компонент реберной двусвязности будет осуществляться с помощью обхода в глубину.

Двупроходный алгоритм

Первый способ найти искомые компоненты — сначала определить критерий перехода в новую компоненту реберной двусвязности, а затем покрасить вершины графа в нужные цвета.

Определим критерий перехода к новой компоненте. Воспользуемся ранее доказанной леммой. Получается — перешли по мосту, следовательно началась новая компонента.

Первый проход: запустим алгоритм для поиска мостов, чтобы посчитать две величины: [math]tin(v)[/math] и [math]up(v)[/math].

Второй проход: окрашиваем вершины, т.е. если перешли по мосту, то оказались в новой компоненте реберной двусвязности.

Псевдокод второго прохода

  • В переменной [math]\mathtt{color}[/math] хранится цвет текущей компоненты.
  • [math]\mathtt{maxColor}[/math] изначально равен [math]0[/math], что эквивалентно тому, что никакая компонента не окрашена.
function paint([math]v[/math], color):
  colors[[math]v[/math]] = color
  for [math](u, v) \in E[/math]:
    if colors[[math]u[/math]] == 0:
      if up[[math]u[/math]] > tin[[math]v[/math]]:
        maxColor++
        paint([math]u[/math], maxColor)
      else:
        paint([math]u[/math], color)
function solve():
  for [math]v \in V[/math] :
    colors[[math]v[/math]] = 0
    if not visited[[math]v[/math]]
      dfs([math]v[/math])
  maxColor = 0
  for [math]v \in V[/math] :
    if colors[[math]v[/math]] == 0:
      maxColor++
      paint([math]v[/math], maxColor)

Вершины каждой из компонент реберной двусвязности окажутся окрашенными в свой цвет.

Время работы алгоритма будет время работы двух запусков dfs, то есть [math]2 \cdot O(|V| + |E|)[/math], что есть [math] O(|V| + |E|)[/math].

Однопроходный алгоритм

Однопроходный алгоритм строится на базе алгоритма поиска мостов. Во-первых, создадим глобальный стек, и при спуске по дереву [math] dfs [/math] добавляем в него вершины. Во-вторых, когда возвращаемся назад, проверяем не является ли ребро мостом (при помощи леммы). Если это так, то все вершины, находящиеся до текущего потомка в стеке, принадлежат одной компоненте.Заметим, что эта компонента будет висячей вершиной в дереве блоков и мостов, так как обходили граф поиском в глубину. Значит, ее можно выкинуть и продолжить поиск в оставшемся графе. Действуя по аналогии в получившемся графе, найдем оставшиеся компоненты реберной двусвязности.

Псевдокод

function paint([math]v[/math]):
  maxColor++
  last = -1
  while last != [math]v[/math] and not stack.empty()
    colors[stack.top()] = maxColor
    last = stack.top()
    stack.pop()
function dfs([math] v [/math])
  time =  time + 1
  stack.push([math]v[/math])
  tin[[math]v[/math]] = time
  up[[math]v[/math]] = time
  for [math] (v, u) \in E[/math]:
    if [math](v, u)[/math] — обратное ребро
      up[[math]v[/math]] = min(up[[math]v[/math]], tin[[math]u[/math]])
    if not visited[[math]u[/math]]
      dfs([math]u[/math])
      up[[math]v[/math]] = min(up[[math]v[/math]], up[[math]u[/math]])
      if up[[math]u[/math]] > tin[[math]v[/math]] 
        paint([math]u[/math]) 

Так же после вызова dfs нужно не забыть в конце вызвать ещё раз paint.

Теперь две вершины имеют одинаковый цвет тогда и только тогда, когда они принадлежат одной компоненте реберной двусвязности.

Время работы dfs [math] O(|V| + |E|)[/math]. Покраска за [math] O(|V|) [/math]. Итоговое время работы алгоритма [math] O(|V| + |E|)[/math].

См. также

Источники информации