Изменения

|definition ='''Скобочная последовательность''' (англ. ''Bracket Sequences'') {{---}} класс комбинаторных объектов, представляющий представляющих собой последовательность скобочных символов.}}'''Примеры скобочных последовательностей'''*$<tex>(())))($</tex>*$<tex>)()()))()(()())$</tex>

|definition ='''Правильная скобочная последовательность''' (анлг. ''Correct Bracket Sequences'') {{- --}} частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами:

*""<tex>\varepsilon</tex> (пустая строка) есть правильная скобочная последовательность;*пусть <tex>S</tex> {{---}} правильная скобочная последовательность, взятая в скобки тогда <tex>(S)</tex> есть правильная скобочная последовательность;(*)*скобочная последовательностьпусть <tex>S1</tex>, к которой приписана слева или справа другая скобочная последовательность<tex>S2</tex> {{---}} правильные скобочные последовательности, тогда <tex>S1S2</tex> есть правильная скобочная последовательность;

'''Примеры правильных скобочный скобочных последовательностей'''*$<tex>((()()()()))$</tex>*$<tex>(())(()())$</tex>

Пусть нам дана скобочная последовательность , записанная в строку <tex>s</tex>. Возьмем переменную a<tex>\mathtt{counter}</tex>, a <tex>\mathtt{counter} = 0</tex>, в которой мы будем поддерживать баланс. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем a <tex>\mathtt{counter}</tex> на <tex>1</tex>, закрывающую {{--- }} уменьшаем на <tex>1</tex>. Если на протяжении всего перебора a <tex>\mathtt{counter}</tex> было неотрицательным (не встречалось закрывающих скобок, для которых не было соответствующих открывающих) и после завершения осталось нулем(все открывающие скобки закрыты, при этом нет лишних закрытых скобок), то скобочная последовательность правильна.

function '''boolean''' check(s: '''string'''): boolean; var i, a :integer; begin a :counter = 0 '''for ''' i := 1 '''to ''' length(s) do {перебираем последовательно все символы строки (подразумевается, что в ней нет символов отличных от "(" и ")")} begin '''if ''' s[i] == '(' then {проверяем символ и производим соответствующие действия над переменной a} inc(a) counter++ '''else''' dec(a); counter-- '''if a ''' counter < 0 then check := '''return''' ''false; '' end; if a '''return''' counter == 0 then {проверяем на равенство нулю} check := true else check := false; end;

Надо отметить , что, скобочные последовательности могут состоять не только из одного типа скобок, при . При этом недопустимо такое расположение, когда один тип скобок закрывает другой:

''===Примеры скобочных последовательностей с несколькими типами скобок''===

*$<tex>( ) [ ( ) ]\{()()[]\}$ </tex> {{--- }} верно*$<tex>[(]\{\})$ </tex> {{--- }} неверно

В этом случае для проверки надо будет использовать [[Стек | стек]].

== Лексикографический порядок порядок правильных скобочных последовательностей ==

Для того , чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей будем интерпретировать открывающуюся скобку как "0", а закрывающуюся как "1"надо установить порядок на алфавите, например так <tex>(**\ <\ )</tex>. Тогда первая последовательность Для последовательностей с n открывающимися скобками будет иметь вид:разным типом скобок надо определять свой порядок в зависимости от числа скобок, причем любая открывающаяся скобка должна быть меньше закрывающейся, например <tex>(\ <\ [\ <\ )\ <\ ]</tex>.

===Примеры лексикографического порядка для <tex>n</tex> и <tex>k</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} число открывающихся скобок, а <tex>k</tex> {{---}} число видов скобок=== {| borderclass="wikitable" !colspan="12" cellpaddingstyle="padding:7px"| <tex>n = 3"</tex> !colspan="3" style="padding:7px"| (||(||(||(||...||(||(||(||)||)||)||...||)||)||)||)||(***)<tex>k = 1</tex>

!style="padding:7px"|0<tex>((()))</tex> !style="padding:7px"|<tex>(()())</tex> !style="padding:7px"|0<tex>(())()</tex> !style="padding:7px"|<tex>()(())</tex> !style="padding:7px"|0||0||...||0||0||0||1||1||1||...||1||1||1||1<tex>()()()</tex>

что соответствует самому маленькому возможному числу, а последняя: {| borderclass="1wikitable" cellpadding="3" !colspan="2" style="padding:7px"| (<tex>n = 2</tex> !colspan="2" style="padding:7px"||)||(||)||...||(||)||(||)||(||)||...||(||)||(||)<tex>k = 2</tex>

!style="padding:7px"|0<tex>()[]</tex> !style="padding:7px"|<tex>([])</tex> !style="padding:7px"|1<tex>[()]</tex> !style="padding:7px"||0||1||...||0||1||0||1||0||1||...||0||1||0||1<tex>[]()</tex>

== Алгоритмы генерации == ===Рекурсивный алгоритм получения лексикографического порядка===Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками: Для запуска алгоритма необходимо сделать вызов <tex>\mathrm{gen}(n</tex>, <tex>0</tex>, <tex>0</tex>, <tex>"")</tex>.*<tex> \mathtt{ans}</tex> {{---}} строка, в которой мы считаем ответ*<tex> \mathtt{counter\_open}</tex> - количество открывающих скобок в данный момент*<tex> \mathtt{counter\_close}</tex> - количество закрывающих скобок в данный момент '''function''' gen(n: '''int''', counter_open: '''int''', counter_close: '''int''', ans: '''string'''): '''if''' counter_open + counter_close == 2 * n print(ans) '''return''' '''if''' counter_open < n gen(n, counter_open + 1, counter_close, ans + '(') '''if''' counter_open > counter_close gen(n, counter_open, counter_close + 1, ans + ')') Если есть возможность поставить открывающую скобку, то мы ставим её. Аналогично после этого если есть возможность поставить закрывающую скобку, то после этого мы ставим и её.<br>Таким образом строки будут выведены в лексографическом порядке, так как сначала мы мы пытаемся поставить открывающую скобку. При этом мы перебираем все возможные варианты последующих скобок для каждого возможного префикса <tex>\mathtt{ans}</tex>, а следовательно в результате получаем все возможножные правильные скобочные последовательности ===Генерация следующей скобочной последовательности=== Пусть нам известна строка <tex>s</tex>, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то вывести "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить (на этом месте мы можем поставить закрывающую скобку, не нарушив условия правильности скобочной последовательности, то есть на протяжении проверки на правильность counter должен быть неотрицательным), заменить ее на закрывающуюся, а оставшиеся в конце скобки (если они есть) заменить на минимально возможную последовательность скобок:  '''string''' next(s: '''string'''): counter_close = 0 counter_open = 0 '''for''' i = length(s) '''downto''' 1 '''if''' s[i] == '(' counter_open++ '''if''' counter_close > counter_open '''break''' '''else''' counter_close++ <font color="Green">// начиная с символа с индексом "length(s) - counter_open - counter_close" удаляем все символы (индексация с 0)</font> remove(s[length(s) - counter_open - counter_close], s[length(s) - 1]) '''if''' s == "" '''return''' "No Solution" '''else''' s = s +')' '''for''' j = 1 '''to''' counter_open s = s + '(' '''for''' j = 1 '''to''' counter_close - 1 s = s + ')' '''return''' s ===Получение лексикографического порядка=== Пусть нам известно число <tex>n</tex>. Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:  '''function''' order(n: '''int'''): s = "" '''for''' j = 1 '''to''' n s = s + '(' '''for''' j = 1 '''to''' n s = s + ')' print(s) '''while''' next(s) != "No Solution" print(s = next(s)) '''return''' Также с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет нормально работать для больших <tex>n</tex>. ===Получение номера последовательности=== Пусть <tex>n</tex> — количество пар скобок в последовательности. Требуется по заданной правильной скобочной последовательности найти её номер в списке лексикографически упорядоченных правильных скобочных последовательностей. Научимся считать вспомогательную [[Динамическое программирование | динамику]] <tex>d[i][j]</tex>, где <tex>i</tex> — длина скобочной последовательности (она "полуправильная": всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты), <tex>j</tex> — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок), <tex>d[i][j]</tex> — количество таких последовательностей. При подсчёте этой динамики мы считаем, что соответствует самому большому возможному числускобки бывают только одного типа. Считать эту динамику можно следующим образом. Пусть <tex>d[i][j]</tex> — величина, которую мы хотим посчитать. Если <tex>i = 0</tex>, то ответ понятен сразу: <tex>d[0][0] = 1</tex>, все остальные <tex>d[0][j] = 0</tex>. Пусть теперь <tex>i > 0</tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex>'('</tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex>(i-1,j-1)</tex>. Если он был равен <tex>')'</tex>, то предыдущим было состояние <tex>(i-1,j+1)</tex>. Таким образом, получаем формулу: <tex>d[i][j] = d[i-1][j-1] + d[i-1][j+1]</tex> (считается, что все значения <tex>d[i][j]</tex> при отрицательном <tex>j</tex> равны нулю). Таким образом, эту динамику мы можем посчитать за <tex>O(n^2)</tex>.

Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок, например "("<"["<")"<"]"Перейдём теперь к решению самой задачи.Сначала пусть допустимы только скобки одного типа:

''Примеры лексикографического порядка для 'int''' get_number(s: '''string'''): num = 0 depth = 0 '''for''' i = 0 '''to''' 2 * n и k, где - 1 '''if''' s[i] == '(' depth++ '''else''' num += d[2 * n - число открывающихся скобок, а k i - 1][depth + 1] depth-- число видов скобок '''return'''num

{| borderПусть теперь разрешены скобки <tex>k</tex> типов. Тогда при рассмотрении текущего символа <tex>s[i]</tex> до пересчёта <tex>\rm depth</tex> мы должны перебирать все скобки, которые меньше текущего символа в установленном ранее порядке, пробовать ставить эту скобку в текущую позицию (получая тем самым новый баланс <tex>\rm ndepth ="\rm depth \pm 1</tex>), и прибавлять к ответу количество соответствующих " cellpadding=хвостов"3" |n = 3||k = 1 |{{--- |$((()))$||$(}} завершений (которые имеют длину <tex>2n - i - 1</tex>, баланс <tex>\rm ndepth</tex> и <tex>k</tex> типов скобок)())$||$(())()$||$()(())$||$()()()$ |}. Утверждается, что формула для этого количества имеет вид:

{| border="<tex>d[2n - i - 1" cellpadding="3" |n = 2||k = 2 |- |$()[]$||$([ndepth])$||$[\cdot k^{(2n - i - 1 - ndepth)]$||$[]()$ |/ 2}</tex>

Алгоритм генерации лексикографического порядка Эта формула выводится из следующих соображений. Сначала мы "забываем" про то, что скобки бывают нескольких типов, и просто берём ответ из <tex>d[2n - i - 1][{\rm ndepth}] </tex> (аналогично случаю с одним типом скобок, где мы увеличивали <tex>depth</tex> на <tex>1</tex>, если скобка открывающая, и уменьшали на <tex>1</tex>, если закрывающая, <tex>ndepth = depth + 1</tex>, если мы пробуем поставить открывающую скобку, и <tex>ndepth = depth - 1</tex>, если закрывающую). Теперь посчитаем, как изменится ответ из-за наличия <tex>k</tex> типов скобок. У нас имеется <tex>2n - i - 1</tex> неопределённых позиций, из которых <tex>\rm ndepth</tex> являются скобками, закрывающими какие-то из открытых ранее, — значит, тип таких скобок мы варьировать не можем. А вот все остальные скобки (а их будет предложен ниже<tex>(2n - i - 1 - {\rm ndepth}) / 2</tex> пар) могут быть любого из <tex>k</tex> типов, поэтому ответ умножается на эту степень числа <tex>k</tex>.

== Количество правильных скобочных последовательностейСложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k)</tex>. Числа Каталана ==

{{Определение|id = def1|definition =Числа Каталана {{Пусть <tex>n</tex> — количество пар скобок в последовательности. В данной задаче по заданному <tex>k</tex> требуется найти <tex>k</tex>---}} ую правильную скобочную последовательность чисел, выражающихЖ*количество неизоморфных в списке лексикографически упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n+1 листьями;*Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами;*количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями;*Количество правильных скобочных последовательностей имеющих n открывающихся скобок.}}

$c_0$ = 1; - так как существует Пусть сначала допустимы только одна скобочная последовательность с 0 открывающихся скобок - пустаяскобки одного типа:

$C_n$ '''string''' get_sequence(n: '''int''', k: '''int'''): depth = (Сумма по 0 s = "" '''for''' i от = 0 '''to''' 2 * n - 1 до '''if''' d[2 * n - (i + 1) C_i ][depth + 1] <tex>\geqslant</tex> k s += '(' depth++ '''else''' k -= d[2 * C_(n - (i + 1 )][depth + 1] s += ')' depth-- i). '''return''' s

Это соотношение легко получается из Пусть теперь разрешён не один, а <tex>k</tex> типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение <tex>d[2n - i - 1][\rm ndepth]</tex> на величину <tex>k^{(*2n - i - 1 - \rm ndepth). Для этого надо перебрать все возможные последовательности d_1 и d_2/ 2}</tex>, чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, являющиеся правильными скобочными последовательностямиа парных скобок в этом остатке будет только <tex>2n - i - 1 - \rm ndepth</tex>, такиепоскольку <tex>\rm ndepth</tex> скобок являются закрывающими для открывающих скобок, что находящихся вне этого остатка (d_1а потому их типы мы варьировать не можем)d_2 образуют новые правильные скобочные последовательности необходимой нам длины.

Пусть нам известна строка s, представляющая собой правильную скобочную последовательность== См. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то - "No solution". Воспользуемся интерпретацией (также ==*[[Числа Каталана]]*[[Комбинаторные объекты]]*[[Лексикографический порядок]]*). Чтобы получить следующий битовый вектор надо найти самый последний нулевой элемень, заменить его на единицу, а элементы следующие за ним сделать минимально возможными(все нули). Тоже самое и со скобочными последовательностями, только после замены нуля на единицу оставшиеся скобки надо расположить [[Генерация комбинаторных объектов в минимальном лексикографическом порядке (в виде (]]*[[Получение номера по объекту]]*[[Получение объекта по номеру]]*)):[[Получение следующего объекта]]

function next(var s: string): boolean; var i, k, l:integer; begin k := 0; {счетчик для закрывающихся скобок} l := 0; {счетчик для закрывающихся скобок} for i :Источники = length(s) downto 1 do {Начинаем перебирать скобки с конца} begin if s[i] = '(' then begin inc(l); if k > l then {встретив открывающуюся скобку, которую можно поменять на закрывающуюся, меняяем ее и выходим из цикла} break; end else inc(k); end; delete(s, length(s) - l - k + 1, k + l); {удаляем все скобки включая открывающуюся} if s = '' then next := false else begin s := s +')'; {записываем закрывающуюся скобку} for j := 1 to l do {расставляем скобки в минимально возможном порядке} s := s + '('; for j := 1 to k - 1 do s := s + ')'; next := true; end; end;

Если эта функция после выполнения выводит true тогда надо напечатать полученную строку s, если false* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Скобочные последовательности, то следует вывести "No solution".Материал из Википедии — свободной энциклопедии]

Получение лексикографического порядка* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Правильная скобочная последовательность, Материал из Википедии — свободной энциклопедии]

Пусть нам известно число n* [http://e-maxx. Надо вывести все правильные ru/algo/bracket_sequences MAXimal :: algo :: Правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с n открывающимися скобками:]

procedure (n[[Категория: integer); var s: string; j: integer; t: boolean; begin s := ''; if n = 0 then writeln('') else begin for j := 1 to n do {создаем начальную строку} s := s + '('; for j := 1 to n do s := s + ')'; writeln(s); t := next(s); while t <> false do {выполняем до тех пор пока не будет получена последняя последовательность} begin writeln(s); t := next(s); end; end; end;Дискретная математика и алгоритмы]]