Изменения

|definition ='''Скобочная последовательность''' (англ. ''Bracket Sequences'') {{---}} класс комбинаторных объектов, представляющих собой последовательность скобочных символов.}}'''Примеры скобочных последовательностей:'''*$<tex>(())))($</tex>*$<tex>)()()))()(()())$</tex>

|definition ='''Правильная скобочная последовательность''' (анлг. ''Correct Bracket Sequences'') {{---}} частный случай скобочной последовательности, определяющийся следующими образами:

*"" <tex>\varepsilon</tex> (пустая строка) есть правильная скобочная последовательность;*пусть $<tex>S$ </tex> {{- --}} правильная скобочная последовательность, тогда $<tex>(S)$ </tex> есть правильная скобочная последовательность;*пусть $S$ <tex>S1</tex>, <tex>S2</tex> {{--- }} правильные скобочные последовательности, тогда <tex>S1S2</tex> есть правильная скобочная последовательность,тогда $()S$ и $S()$ есть правильные скобочные последовательности;

'''Примеры правильных скобочный скобочных последовательностей:'''*$<tex>((()()()()))$</tex>*$<tex>(())(()())$</tex>

Пусть нам дана скобочная последовательность, записанная в строку $<tex>s$</tex>. Возьмем переменную $a$<tex>\mathtt{counter}</tex>, $a <tex>\mathtt{counter} = 0$</tex>, в которой мы будем поддерживать баланс. Будем последовательно перебирать все символы этой строки. Если мы встречаем открывающуюся скобку, то увеличиваем $a$ <tex>\mathtt{counter}</tex> на $<tex>1$</tex>, закрывающую {{--- }} уменьшаем на $<tex>1$</tex>. Если на протяжении всего перебора $a$ <tex>\mathtt{counter}</tex> было неотрицательным (не встречалось закрывающих скобок, для которых не было соответствующих открывающих) и после завершения осталось нулем(все открывающие скобки закрыты, при этом нет лишних закрытых скобок), то скобочная последовательность правильна.

'''boolean''' check(s: '''string'''): pointer counter = 0 '''for (''' i = 1; i < '''to''' length(s) + 1; i++): pointer = ('''if''' s[i] == '(')? pointer counter++ : pointer '''else''' counter-- '''if (pointer ''' counter < 0) '''return ''' ''false '' if (pointer '''return''' counter == 0) return true else return false

Надо отметить , что, скобочные последовательности могут состоять не только из одного типа скобок, при . При этом недопустимо такое расположение, когда один тип скобок закрывает другой:

''===Примеры скобочных последовательностей с несколькими типами скобок:''===

*$<tex>()[()]\{()()[]\}$ </tex> {{--- }} верно*$<tex>[(]\{\})$ </tex> {{--- }} неверно

В этом случае для проверки надо будет использовать [[Стек | стек]].

== Лексикографический порядок порядок правильных скобочных последовательностей ==

Для того , чтобы определить лексикографический порядок для правильных скобочных последовательностей , надо установить порядок на алфавите, например так '$<tex>($' \ < '$\ )$'</tex>.Для последовательностей с разным типом скобок надо определять свой порядок в зависимости от числа скобок, причем любая открывающаяся скобка должна быть меньше закрывающейся, например "$<tex>($" \ < "$\ [$" \ < "$\ )$" \ < "$\ ]$"</tex>.

''===Примеры лексикографического порядка для $<tex>n$ </tex> и $<tex>k$</tex>, где $<tex>n$ </tex> {{- --}} число открывающихся скобок, а $<tex>k$ </tex> {{--- }} число видов скобок''===

{| borderclass="1wikitable" !colspan="2" cellpaddingstyle="padding:7px"| <tex>n = 3"</tex> |$n !colspan= "3$|" style="padding:7px"|$<tex>k = 1$</tex>

!style="padding:7px"|$<tex>((()))$</tex> !style="padding:7px"||$<tex>(()())$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>(())()$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>()(())$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>()()()$</tex>

{| borderclass="1wikitable" cellpadding="3" !colspan="2" style="padding:7px"|$<tex>n = 2$|</tex> !colspan="2" style="padding:7px"|$<tex>k = 2$</tex>

!style="padding:7px"|$<tex>()[]$</tex> !style="padding:7px"||$<tex>([])$</tex> !style="padding:7px"||$<tex>[()]$|</tex> !style="padding:7px"|$<tex>[]()$</tex>

Алгоритм == Алгоритмы генерации == ===Рекурсивный алгоритм получения лексикографического порядка будет предложен ниже===Пусть нам известно число <tex>n</tex>.Надо вывести все правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:

== Количество правильных скобочных последовательностейДля запуска алгоритма необходимо сделать вызов <tex>\mathrm{gen}(n</tex>, <tex>0</tex>, <tex>0</tex>, <tex>"")</tex>. Числа Каталана *<tex> \mathtt{ans}</tex> {{---}} строка, в которой мы считаем ответ*<tex> \mathtt{counter\_open}</tex> - количество открывающих скобок в данный момент*<tex> \mathtt{counter\_close}</tex> - количество закрывающих скобок в данный момент '''function''' gen(n: '''int''', counter_open: '''int''', counter_close: '''int''', ans: '''string'''): '''if''' counter_open + counter_close ==2 * n print(ans) '''return''' '''if''' counter_open < n gen(n, counter_open + 1, counter_close, ans + '(') '''if''' counter_open > counter_close gen(n, counter_open, counter_close + 1, ans + ')')

Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с числами КаталанаЕсли есть возможность поставить открывающую скобку, то мы ставим её.{{Определение|id = def1|definition =Числа Каталана {{---}} последовательность чиселАналогично после этого если есть возможность поставить закрывающую скобку, выражающих:*количество не изоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем то после этого мы ставим и $n + 1$ листьями;её.<br>*количество способов соединения $2n$ точек на окружности n не пересекающимися хордами;*количество разбиений выпуклого $(n + 2)$ - угольника на треугольники не пересекающимися диагоналями;Таким образом строки будут выведены в лексографическом порядке, так как сначала мы мы пытаемся поставить открывающую скобку. *количество правильных скобочных последовательностей имеющих $n$ открывающихся При этом мы перебираем все возможные варианты последующих скобок.для каждого возможного префикса <tex>\mathtt{ans}}Числа Каталана удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:</tex>, а следовательно в результате получаем все возможножные правильные скобочные последовательности

$C_0 = 1$; {{---}} так как существует только одна скобочная последовательность с $0$ открывающихся скобок - пустая==Генерация следующей скобочной последовательности===

$C_n = \sum_{i = 1}^{n - 1} C_i C_{n - 1 - i}$Пусть нам известна строка <tex>s</tex>, представляющая собой правильную скобочную последовательность. Нам необходимо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то вывести "No solution".Для этого Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо перебрать все возможные найти последнюю открывающуюся скобку, которую можно заменить (на этом месте мы можем поставить закрывающую скобку, не нарушив условия правильности скобочной последовательности $S$ и $S2$, являющиеся правильными скобочными последовательностямито есть на протяжении проверки на правильность counter должен быть неотрицательным), такиезаменить ее на закрывающуюся, что $а оставшиеся в конце скобки (S1если они есть)S2$ образуют новые правильные скобочные последовательности необходимой нам длины.заменить на минимально возможную последовательность скобок:

'''string''' next(s: '''string'''): counter_close =0 counter_open = Алгоритмы генерации 0 '''for''' i =length(s) '''downto''' 1 '''if''' s[i] == '(' counter_open++ '''if''' counter_close > counter_open '''break''' '''else''' counter_close++ <font color="Green">// начиная с символа с индексом "length(s) - counter_open - counter_close" удаляем все символы (индексация с 0)</font> remove(s[length(s) - counter_open - counter_close], s[length(s) - 1]) '''if''' s == "" '''return''' "No Solution" '''else''' s = s +')' '''for''' j = 1 '''to''' counter_open s = s + '(' '''for''' j = 1 '''to''' counter_close - 1 s = s + ')' '''return''' s

Пусть нам известна строка $s$, представляющая собой правильную скобочную последовательностьизвестно число <tex>n</tex>. Нам необходимо Надо вывести следующую скобочную последовательность, а если ее нет, то - "No solution". Чтобы получить следующую скобочную последовательность надо найти минимальнуювсе правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с <tex>n</tex> открывающимися скобками:

next'''function''' order(s)n: pointer_close = 0 pointer_open = 0 for (i = length(s); i > 0; i--) if (s[i] == '(''int'''): pointer_open++ if (pointer_closed > pointer_open) break else pointer_closed++ delete(s, length(s) - pointer_open - pointer_closed + 1, pointer_closed + l)= "" if (s == ' '): return false s = s +')for''' for (j = 1; j > l + 1; j++):'''to''' n

'''for (''' j = 1; j > pointer_closed; j++):'''to''' n

print(s) '''while''' next(s) != "No Solution" print(s = next(s)) '''return true''' Также с помощью этого алгоритма можно получить скобочную последовательность по номеру и номер по скобочной последовательности, добавив сравнение с нужной последовательностью и счетчик. Но это далеко не самый оптимальный алгоритм для подобного типа задач и он не будет нормально работать для больших <tex>n</tex>. ===Получение номера последовательности=== Пусть <tex>n</tex> — количество пар скобок в последовательности. Требуется по заданной правильной скобочной последовательности найти её номер в списке лексикографически упорядоченных правильных скобочных последовательностей. Научимся считать вспомогательную [[Динамическое программирование | динамику]] <tex>d[i][j]</tex>, где <tex>i</tex> — длина скобочной последовательности (она "полуправильная": всякой закрывающей скобке соответствует парная открывающая, но не все открытые скобки закрыты), <tex>j</tex> — баланс (т.е. разность между количеством открывающих и закрывающих скобок), <tex>d[i][j]</tex> — количество таких последовательностей. При подсчёте этой динамики мы считаем, что скобки бывают только одного типа. Считать эту динамику можно следующим образом. Пусть <tex>d[i][j]</tex> — величина, которую мы хотим посчитать. Если <tex>i = 0</tex>, то ответ понятен сразу: <tex>d[0][0] = 1</tex>, все остальные <tex>d[0][j] = 0</tex>. Пусть теперь <tex>i > 0</tex>, тогда переберём, чему мог быть равен последний символ этой последовательности. Если он был равен <tex>'('</tex>, то до этого символа мы находились в состоянии <tex>(i-1,j-1)</tex>. Если он был равен <tex>')'</tex>, то предыдущим было состояние <tex>(i-1,j+1)</tex>. Таким образом, получаем формулу: <tex>d[i][j] = d[i-1][j-1] + d[i-1][j+1]</tex> (считается, что все значения <tex>d[i][j]</tex> при отрицательном <tex>j</tex> равны нулю). Таким образом, эту динамику мы можем посчитать за <tex>O(n^2)</tex>. Перейдём теперь к решению самой задачи. Сначала пусть допустимы только скобки одного типа:  '''int''' get_number(s: '''string'''): num = 0 depth = 0 '''for''' i = 0 '''to''' 2 * n - 1 '''if''' s[i] == '(' depth++ '''else''' num += d[2 * n - i - 1][depth + 1] depth-- '''return''' num Пусть теперь разрешены скобки <tex>k</tex> типов. Тогда при рассмотрении текущего символа <tex>s[i]</tex> до пересчёта <tex>\rm depth</tex> мы должны перебирать все скобки, которые меньше текущего символа в установленном ранее порядке, пробовать ставить эту скобку в текущую позицию (получая тем самым новый баланс <tex>\rm ndepth = \rm depth \pm 1</tex>), и прибавлять к ответу количество соответствующих "хвостов" {{---}} завершений (которые имеют длину <tex>2n - i - 1</tex>, баланс <tex>\rm ndepth</tex> и <tex>k</tex> типов скобок). Утверждается, что формула для этого количества имеет вид: <tex>d[2n - i - 1][ndepth] \cdot k^{(2n - i - 1 - ndepth) / 2}</tex> Эта формула выводится из следующих соображений. Сначала мы "забываем" про то, что скобки бывают нескольких типов, и просто берём ответ из <tex>d[2n - i - 1][{\rm ndepth}] </tex> (аналогично случаю с одним типом скобок, где мы увеличивали <tex>depth</tex> на <tex>1</tex>, если скобка открывающая, и уменьшали на <tex>1</tex>, если закрывающая, <tex>ndepth = depth + 1</tex>, если мы пробуем поставить открывающую скобку, и <tex>ndepth = depth - 1</tex>, если закрывающую). Теперь посчитаем, как изменится ответ из-за наличия <tex>k</tex> типов скобок. У нас имеется <tex>2n - i - 1</tex> неопределённых позиций, из которых <tex>\rm ndepth</tex> являются скобками, закрывающими какие-то из открытых ранее, — значит, тип таких скобок мы варьировать не можем. А вот все остальные скобки (а их будет <tex>(2n - i - 1 - {\rm ndepth}) / 2</tex> пар) могут быть любого из <tex>k</tex> типов, поэтому ответ умножается на эту степень числа <tex>k</tex>. Сложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k)</tex>. ===Получение k-й последовательности=== Пусть <tex>n</tex> — количество пар скобок в последовательности. В данной задаче по заданному <tex>k</tex> требуется найти <tex>k</tex>-ую правильную скобочную последовательность в списке лексикографически упорядоченных последовательностей. Как и в предыдущем разделе, посчитаем динамику <tex>d[i][j]</tex> — количество правильных скобочных последовательностей длины <tex>i</tex> с балансом <tex>j</tex>. Пусть сначала допустимы только скобки одного типа:  '''string''' get_sequence(n: '''int''', k: '''int'''): depth = 0 s = "" '''for''' i = 0 '''to''' 2 * n - 1 '''if''' d[2 * n - (i + 1)][depth + 1] <tex>\geqslant</tex> k s += '(' depth++ '''else''' k -= d[2 * n - (i + 1)][depth + 1] s += ')' depth-- '''return''' s Пусть теперь разрешён не один, а <tex>k</tex> типов скобок. Тогда алгоритм решения будет отличаться от предыдущего случая только тем, что мы должны домножать значение <tex>d[2n - i - 1][\rm ndepth]</tex> на величину <tex>k^{(2n - i - 1 - \rm ndepth) / 2}</tex>, чтобы учесть, что в этом остатке могли быть скобки различных типов, а парных скобок в этом остатке будет только <tex>2n - i - 1 - \rm ndepth</tex>, поскольку <tex>\rm ndepth</tex> скобок являются закрывающими для открывающих скобок, находящихся вне этого остатка (а потому их типы мы варьировать не можем). Сложность данного алгоритма <tex>O(n^2 + n \cdot k)</tex>. ==Количество правильных скобочных последовательностей==Количество правильных скобочных последовательностей со скобками одного типа совпадает с [[Числа Каталана | числами Каталана]]. == См. также ==*[[Числа Каталана]]*[[Комбинаторные объекты]]*[[Лексикографический порядок]]*[[Генерация комбинаторных объектов в лексикографическом порядке]]*[[Получение номера по объекту]]*[[Получение объекта по номеру]]*[[Получение следующего объекта]] == Источники ==

Если эта функция после выполнения выводит $true$ тогда надо напечатать полученную строку $s$, если $false$* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Скобочные последовательности, то следует вывести "No solution".Материал из Википедии — свободной энциклопедии]

''Получение лексикографического порядка* [http:''//ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D1%87%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Правильная скобочная последовательность, Материал из Википедии — свободной энциклопедии]

Пусть нам известно число $n$* [http://e-maxx. Надо вывести все правильные ru/algo/bracket_sequences MAXimal :: algo :: Правильные скобочные последовательности в лексикографическом порядке с $n$ открывающимися скобками:]

order (n) s = ' '; if (n == 0)[[Категория: result(s) else for (j = 1; j < n + 1; i++) s = s + '('; for (j = 1; j < n + 1; i++) s = s + ')'; result(s); t = next(s); while (t <> false) result(s); t = next(s); returnДискретная математика и алгоритмы]]