Изменения

Предположим, что в <tex>G'</tex> нет [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#perfect_matching | совершенного паросочетания]]., тогда выберем [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания#Tutt_set | множество Татта]] <tex>S \subset V(G')</tex>, тогда <tex>odd(G' \subset S) > |S|</tex>

Так как <tex>|V(G)|</tex> чётно, то и <tex>odd(G' \setminus S) + |S|</tex> тоже чётно. Из этого следует, что <tex>odd(G' \setminus S) \equiv |S| \pmod 2 </tex>. Из этого факта и того, что <tex>odd(G' \setminus S) > |S|</tex> следует, что <tex>odd(G' \setminus S) \geqslant |S| + 2~~~ \textbf{(1)}</tex>

Пусть в графе <tex>G' \setminus S</tex> всего <tex>t</tex> компонент связности, <tex>n</tex> из которых нечётны. Тогда пусть <tex>U_1, \cdotcdots, U_n</tex> {{---}} нечётные компоненты связности <tex>G' \setminus S</tex>, тогда <tex>|odd(G' \setminus S)| = n</tex>, а <tex>U_{n+1}, \cdotcdots, U_t</tex> {{---}} его чётные компоненты связности. Для каждого <tex>i \in [1 \cdots t]</tex> определим три величинымножества:

[[Файл:Плешник 1.png|300px|thumb|right|Чёрные ребра {{---}} рёбра из <tex>\alpha_iA_i</tex> , красные рёбра {{---}} количество рёбер рёбра из <tex>E(G')B_i</tex>, соединяющих синие рёбра {{---}} рёбра из <tex>U_iC_i</tex> с . Обратите внимание, что только чёрные рёбра есть в графе <tex>SG'</tex>,синие и красные {{---}} рёбра из <tex>F</tex>]]

<tex>\beta_iA_i</tex> {{---}} количество рёбер рёбра из <tex>FE(G')</tex>, соединяющих соединяющие <tex>U_i</tex> с <tex>S</tex>,<tex>\alpha_i</tex> {{---}} их количество, то есть <tex>\alpha_i = |A_i|</tex>

<tex>\gamma_iB_i</tex> {{---}} количество рёбер рёбра из <tex>E(G')F</tex>, соединяющих соединяющие <tex>U_i</tex> с остальными компонентами связности графа <tex>G' S</tex>, <tex>\setminus Sbeta_i</tex>{{---}} их количество, тогдато есть <tex>\beta_i = |B_i|</tex>

<tex>C_i</tex> {{---}} рёбра из <tex>F</tex>, соединяющие <tex>U_i</tex> с остальными компонентами связности графа <tex>G' \setminus S</tex>, <tex>\gamma_i</tex> {{---}} их количество, то есть <tex>\gamma_i = |C_i|</tex>. Тогда определим <tex>m_i := \alpha_i + \beta_i + \gamma_i</tex>. Тогда <tex>m_i</tex> {{---}} это количество рёбер графа <tex>G</tex>, соединяющих <tex>U_i</tex> с <tex>V(G) \setminus U_i</tex>.

<tex>m_i \geqslant \lambda(G)</tex> (так как граф потерял связность), а <tex>\lambda(G) \geqslant k - 1</tex>. Из этого факта и того, что <tex>m_i \equiv k \pmod 2</tex> следует, что <tex>m_i \geqslant k</tex>. Отсюда получаем неравенство: <tex>\sum\limits_{i=1}^n m_i = \sum\limits_{i=1}^n (\alpha_i + \beta_i + \gamma_i) = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i + \sum\limits_{i=1}^n \beta_i + \sum\limits_{i=1}^n \gamma_i \geqslant kn ~~~ \textbf{(2)}</tex> Заметим, что все множества рёбер <tex>A_i \subset E(G')</tex> и <tex>B_j \subset F</tex> не пересекаются(так как <tex>E(G') = E(G) \setminus F</tex>) и ведут во множество <tex>S</tex>. Поэтому сумма <tex>\sum\limits_{i=1}^t |A_i| + \sum\limits_{i=1}^t |B_i| = \sum\limits_{i=1}^t \alpha_i + \sum\limits_{i=1}^t \beta_i</tex> не превосходит суммарную степень вершин в <tex>S</tex>. Во множестве <tex>S</tex> находится всего <tex>|S|</tex> вершин, степень каждой не превосходит <tex>k</tex>. Поэтому суммарная степень вершин в <tex>S</tex> не превосходит <tex>k|S|</tex>. Отсюда получаем неравенство: <tex>\sum\limits_{i=1}^t \alpha_i + \sum\limits_{i=1}^t \beta_i \leqslant k|S| ~~~ \textbf{(3.1)}</tex> Заметим, что множества рёбер <tex>B_i</tex> и <tex>C_j</tex>, не пересекаются, так как <tex>B_i</tex> ведут из <tex>U_i</tex> в <tex>S</tex>, а <tex>C_j</tex> ведут из <tex>U_j</tex> в <tex>U_k</tex>, (<tex>k \neq j</tex>). Так как <tex>B_i \subset F</tex> и <tex>C_j \subset F</tex>, то сумма <tex>\sum\limits_{i=1}^t |B_i| + \sum\limits_{i=1}^t |C_i| = \sum\limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_{i=1}^t \gamma_i</tex> не превосходит мощности <tex>F</tex>, откуда имеем: <tex>2 \sum\limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_{i=1}^t \gamma_i \leqslant 2|F| \leqslant 2k - 2 ~~~ \textbf{(3.2)}</tex> (так как <tex>|F| \leqslant k - 1</tex>) Сложив <tex>\textbf{(3.1)}</tex> и <tex>\textbf{(3.2)}</tex>, получаем <tex>\sum\limits_{i=1}^t \alpha_i + 3\sum\limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_{i=1}^t \gamma_i \leqslant k(|S| + 2) - 2 ~~~ \textbf{(3)}</tex> Так как <tex>\sum\limits_{i=1}^n \alpha_i + \sum\limits_{i=1}^n \beta_i + \sum\limits_{i=1}^n \gamma_i \leqslant \sum\limits_{i=1}^t \alpha_i + \sum\limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_{i=1}^t \gamma_i \leqslant \sum\limits_{i=1}^t \alpha_i + 3\sum\limits_{i=1}^t \beta_i + \sum\limits_{i=1}^t \gamma_i</tex> из неравенств <tex>\textbf{(2)}</tex> и <tex>\textbf{(3)}</tex> получаем <tex>kn \leqslant k(|S| + 2) - 2</tex>  Тогда <tex>k(n - |S| - 2) \leqslant -2</tex>, следовательно, <tex>k(n - |S| - 2) \leqslant 0</tex> <tex>k > 0</tex>, следовательно <tex>n - |S| - 2 \leqslant 0</tex> и, следовательно, <tex>odd(G' \setminus S) = n < |S| + 2</tex>, что противоречит <tex>\textbf{(1)}</tex>. Таким образом, множество Татта найти нельзя, значит, в <tex>G'</tex> существует совершенное паросочетание.}} ==Следствия== Заметим, что [[Совершенное паросочетание в кубическом графе#th1 | Теорема Петерсона]] является следствием из этой теоремы, так как в графах Петерсена <tex>k = 3</tex>, <tex>\lambda(G) \leqslant 2 = k - 1</tex>, <tex>|V|</tex> чётно и <tex>|F| = 0 \leqslant k - 1</tex>   {{Утверждение|id = statement2 |statement = Пусть <tex>G</tex> {{---}} <tex>k</tex>-[[Основные определения теории графов#defRegularGraph |регулярный граф]], с чётным числом вершин, причём <tex>\lambda(G) \geqslant k - 1</tex>. Тогда для любого ребра <tex>e \in E(G)</tex> существует совершенное паросочетание графа <tex>G</tex>, содержащее <tex>e</tex>.|proof = Пусть <tex>e = uv</tex>, а <tex>e_1 \cdots e_{k-1}</tex> {{---}} остальные рёбра, инцидентные вершине <tex>u</tex>. Согласно теореме, в графе <tex>G \setminus \{ e_1 \cdots e_{k-1} \}</tex> есть совершенное паросочетание <tex>M</tex>. Так как <tex>u</tex> покрывается <tex>M</tex>, а <tex>e</tex> {{---}} единственное ребро <tex>G \setminus \{ e_1 \cdots e_{k-1} \}</tex>, инцидентное <tex>u</tex>, <tex>u \in M</tex>