1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
|id = lem2
|statement = Функция <tex> d(x) </tex> строго выпукла на любом пути в дереве.
|proof = Признак непрерывной строго выпуклой функции <ref>https://ru.wikipedia.org/wiki/Выпуклая_функция</ref>: <tex> \forall x, y \in \mathbb{R} (x \neq y) </tex> выполнено <tex> 2f(\displaystyle \frac{x+y}{2}) < f(x) + f (y) </tex>. Функция Будем называть функцию строго выпуклой на множестве натуральных чисел, если предыдущее неравенство выполнено для всех <tex> d(x) , y \in \mathbb{N} </tex> не является непрерывной при . Введём функцию <tex> g_p(x \in ): \mathbb{RN} \rightarrow V_G </tex>, но её можно доопределить так, чтобы на интервале которая по номеру вершины в пути <tex> (a, b) p </tex>, где находит саму вершину. В дальнейшем <tex> d(a, b \in \mathbb {N} ) </tex> она соединяла значения будем считать как <tex> d(g_p(a)) </tex> и для некоторого рассматриваемого пути <tex> p </tex>. Доопределим функцию <tex> d(bx) </tex> параболой (или любой другой выпуклой функцией). Это можно сделатьтак, потому что для функции на пути чтобы в дереве рассматриваются только натуральные аргументы. Для доказательства выпуклости нам интересна только точка параболы, абсцисса которой равна точке <tex> a + \displaystyle \frac{a+b1}{2} </tex>. В ней функция будет принимать , где <tex> a \in \mathbb{N} </tex> она принимала значение, строго меньшее <tex> \displaystyle \frac{d(a)+d(a+1)}{2} </tex>. Это нужно сделать, потому что не всегда <tex> \displaystyle \frac{a+b)}{2} \in \mathbb{N} </tex>. Докажем, что признак строгой выпуклости функции выполняетсятакая функция строго выпукла на множестве натуральных чисел.
Есть два случая: когда расстояние между <tex> x, y </tex> четное и нечетное. Докажем первый случай, второй доказывается аналогично. Пусть в пути от <tex> x </tex> до <tex> y </tex>, кроме них есть только вершина <tex> z </tex>. Тогда по предыдущей лемме неравенство очевидно. Пусть есть другие вершины, кроме <tex> x, y, z </tex>, тогда их не меньше двух, так как <tex> dist(x, y) </tex> четно. Рассмотрим тогда в этом пути вершины, которые находятся от <tex> z </tex> на расстоянии не больше <tex> 2 </tex> (пусть они идут в порядке: <tex> a b z c d </tex>), и докажем, что неравенство всё ещё сохраняется. <tex> 4d(z) < 2d(b) + 2d(c) < d(a) + d(z) + d(z) + d (b) \Rightarrow 2d(z) < d(a) + d (b)</tex>. Так будем увеличивать расстояние от <tex> z </tex> и придём к вершинам <tex> x, y </tex>, сохраняя инвариант.
}}
|proof= Рассмотрим дерево, построенное следующим образом: к вершине дерева <tex> x </tex> подвесим <tex> n </tex> свободных вершин (в дереве они станут листьями) и бамбук, расстояние в котором от листа до <tex> x </tex> назовём числом <tex> l </tex>. Докажем, что существуют такие <tex> n, l </tex>, что расстояние между центром и барицентром не меньше <tex> k </tex>.
Для удобства будем считать, что центр один, для этого будем рассматривать только нечётные <tex> l. </tex> Назовём лист бамбука вершиной <tex> a </tex>, а центр дерева <tex>- \ c </tex>. Тогда <tex> dist(a, c) = \displaystyle \frac{l+1}{2} </tex>. Теперь будем искать, какое <tex> n </tex> стоит выбрать, чтобы барицентром оказалась вершина <tex> x </tex>. Найдём <tex> d(x) </tex>: <tex> d(x) = n + 1 + \dots + l = n + \displaystyle \frac{(l+1)l}{2} </tex>. Рассмотрим вершину <tex> v \neq x </tex>. <tex> d(v) > 2(n-1) </tex>, так как все вершины, кроме <tex> x </tex> удалены хотя бы на расстояние <tex> 2 </tex> от <tex> n-1 </tex> вершины. В таком случае, <tex> d(x) < d(v) \Leftarrow n > \displaystyle \frac{(l+1)l}{2} + 2 </tex>. Мы получили, что <tex> dist(c, x) = \displaystyle \frac{l-1}{2} </tex>, и <tex> x </tex> является барицентром. Найдём такие <tex> l ,</tex> что <tex> \displaystyle \frac{l-1}{2} \geqslant k</tex>. Для этого можно взять любое <tex> l \geqslant 2k + 1 </tex>. Таким образом, искомые <tex> n, l </tex> существуют.
}}
'''Замечание''': доказательство существования такого <tex> n </tex> , чтобы вершина <tex> x </tex> была барицентром можно было проводить и неконструктивноменее строго, ведь действительно понятноочевидно, что при больших <tex> n </tex> у барицентра должно быть минимальное расстояние до <tex> n </tex> листьев. И такой вершиной и является <tex> x </tex>.}}
== Примечания ==
* [[Выпуклые функции]]
* [[Дерево, эквивалентные определения]]
== Источники информации ==
* ''Melnikov O.''. «Exercises in Graph Theory» — «Springer», 2013 г. — 47-48 стр. — ISBN 978-94-017-1514-0
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Основные определения теории графов]]
