1632
правки
Изменения
Класс P
,rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
'''Класс''' <tex>\mathrm{P}</tex> {{---}} класс языков (задач), разрешимых на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть:<tex>\mathrm{P } = \bigcup\limits_{p \in poly} DTIME(p(n))</tex><ref>[[Сложностные классы. Вычисления с оракулом]]</ref>.
}}
== Свойства класса P ==
{{Теорема
|statement =
|proof =
Понятно, что <tex>Reg \mathrm{P} \subset TS(n\mathrm{P}^D</tex>. Докажем, 1) что <tex>\mathrm{P}^D \subset \mathrm{P}</tex>.''Замечание<tex>L \in \mathrm{P}^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P}^A</tex>.'' Пусть <tex>TSp</tex> {{---}} ограничение разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>f(n)</tex> и по времени и по памятииспользующий оракул языка <tex>A</tex>.Пусть <tex>q</tex> {{---}} разрешитель <tex>A</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>g(n)</tex>.Представим себе разрешитель <tex>L</tex>, работающий как <tex>p</tex>, но использующий <tex>q</tex> вместо оракула <tex>A</tex>. Его время работы ограничено сверху значением <tex>f(n) + \sum\limits_{i=1}^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))</tex>, что является полиномом (обращений к <tex>q</tex> максимум <tex>f(n)</tex>; на вход для <tex>q</tex> можем подать максимум <tex>f(n)</tex> данных, так как больше сгенерировать бы не успели). Значит, <tex>L \in \mathrm{P}</tex>.
}}
{{Теорема
|statement =
Класс контекстно-свободных языков входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>CFL L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \subset mathrm{P}</tex>.
|proof =
Докажем замкнутость замыкания Клини. Остальные доказательства строятся аналогично. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L_1</tex>, работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>L_1^*</tex>. <tex>q(w):</tex> <tex>n = |w|</tex> <tex>CFL endPoses = \{0\subset TS}</tex> //позиции, где могут заканчиваться слова, принадлежащие <tex>L_1</tex> for (<tex>i = 1 \ldots n</tex>) for (<tex>j \in endPoses</tex>) if (<tex>p(w[j+1 \ldots i])</tex>) { if (<tex>i = n</tex>) return true <tex>endPoses</tex> <tex>\cup = \{i\}</tex> } return falseХудшая оценка времени работы разрешителя <tex>q</tex> равна <tex>n^32 O(p(w))</tex>, так как в множестве <tex>endPoses</tex> может быть максимум <tex>n</tex> элементов, значит итерироваться по множеству можно за <tex>n</tex>, если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за <tex>O(1)</tex>. Итого, разрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время (так как произведение полиномов есть полином). Значит <tex>L_1^2) * \in \subset mathrm{P}</tex>Первое включение выполняется благодаря существованию [[Алгоритм Эрли|алгоритма Эрли]].
}}
* задача линейного программирования;
* проверка простоты числа.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal, N.Kayal, N.Saxena, "Primes is in P"]</ref>
Но существуют задачи не из <tex>\mathrm{P}</tex>, так как из [[теорема о временной иерархии|теоремы о временной иерархии]] следует, что <tex>\exists L \in \mathrm{EXP}\setminus\mathrm{P}</tex>.
{{Теорема
|statement =
Класс [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярных языков]] входит в класс <tex>\mathrm{P}</tex>, то есть: <tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{P}</tex>.
|proof =
<tex>\mathrm{Reg} \subset \mathrm{TS}(n, 1) \subset \mathrm{P}</tex>
}}
== Задача равенства P и NP -полные задачи ==Одним из центральных вопросов теории сложности является вопрос о равенстве классов Говоря про <tex>\mathrm{P}</tex> и -[[NPСведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи#Определения трудных и полных задач|полноту]], не разрешенный по сей деньмы, как правило, подразумеваем <tex>\mathrm{P}</tex>-полноту относительно <tex>\widetilde{\mathrm{L}}</tex>-сведения.<ref>[[Классы L, NL, coNL. NL-полнота задачи о достижимости]]</ref>
== Ссылки ==
<references/>
[[Категория: Классы сложности]]