Изменения

'''Класс''' <tex>\mathrm{P}</tex> {{---}} класс языков (задач), разрешимых надетерминированной на детерминированной машине Тьюринга за полиномиальное время, то есть:

# Замкнутость {{Теорема|statement =Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно [[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи|сведения по Карпу]]. <tex> L \in \mathrm{P} , M \le L \Rightarrow M \in \mathrm{P}</tex>.# Замкнутость относительно [[Сведение по Куку|сведения по Куку]]proof =Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время. <tex>(M \leq L) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{\iff} ( \exists f \in \mathrm{\widetilde{P}} : w \in M \Leftrightarrow f(w) \in L) </tex>.Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>M</tex>. <tex>q(w):</tex> if (<tex>p(f(w))</tex>) return true return falseРазрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время, так как композиция полиномов есть полином.} }  {{Теорема|statement =<tex>D \subset subseteq \mathrm{P} \Rightarrow \mathrm{P}=\mathrm{P}^L}D</tex>.# Замкнутость объединения, пересеченияВ частности, конкатенациииз этого следует, замыкания Клини и дополнения. Если что <tex>L_1, L_2 \in mathrm{P}=\mathrm{P^P}</tex>.|proof =Понятно, то: что <tex>L_1 \cup L_2 mathrm{P} \in subset \mathrm{P}^D</tex>. Докажем, что <tex>L_1 \cap L_2 mathrm{P}^D \in subset \mathrm{P}</tex>, . <tex>L_1 L_2 L \in \mathrm{P}^D \Rightarrow \exists A \in D: L \in \mathrm{P}^A</tex>. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>L</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>f(n)</tex>L_1^* \in \mathrmи использующий оракул языка <tex>A</tex>.Пусть <tex>q</tex> {{P---}}разрешитель <tex>A</tex>, работающий за полиномиальное время <tex>g(n)</tex>.Представим себе разрешитель <tex>L</tex> и , работающий как <tex>p</tex>, но использующий <tex>q</tex> вместо оракула <tex>A</tex>. Его время работы ограничено сверху значением <tex>f(n) + \overlinesum\limits_{L_1i=1} ^{f(n)} g(f(n)) = f(n) + f(n) g(f(n))</tex>, что является полиномом (обращений к <tex>q</tex> максимум <tex>f(n)</tex>; на вход для <tex>q</tex> можем подать максимум <tex>f(n)</tex> данных, так как больше сгенерировать бы не успели). Значит, <tex>L \in \mathrm{P}</tex>. Рассмотрим доказательство замкнутости замыкания Клини (остальные доказательства строятся аналогично).}}

 {{ЛеммаТеорема

Класс <tex>\mathrm{P}</tex> замкнут относительно операций объединения, пересечения, конкатенации, замыкания Клини и дополнения. Если <tex>L L_1, L_2 \in \mathrm{P}</tex>, то : <tex>L_1 \cup L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 \cap L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>L_1 L_2 \in \mathrm{P}</tex>, <tex>LL_1^* \in \mathrm{P}</tex> и <tex>\overline{L_1} \in \mathrm{P}</tex>.

Докажем замкнутость замыкания Клини. Остальные доказательства строятся аналогично. Пусть <tex>p</tex> {{---}} разрешитель <tex>LL_1</tex>, работающий за полиномиальное время. Построим разрешитель <tex>q</tex> для языка <tex>LL_1^*</tex>.

<tex>endPoses = \{0\}</tex> //позиции, где могут заканчиваться слова, принадлежащие <tex>LL_1</tex>

Худшая оценка времени работы разрешителя <tex>q</tex> равна <tex>n^2 O(p(w))</tex>, так как в множестве <tex>endPoses</tex> может быть максимум <tex>n</tex> элементов, значит итерироваться по множеству можно за <tex>n</tex>, если реализовать его на основе битового массива, например; при этом операция добавления элемента в множество будет работать за <tex>O(1)</tex>. Итого, разрешитель <tex>q</tex> работает за полиномиальное время (так как произведение полиномов есть полином). Значит <tex>LL_1^* \in \mathrm{P}</tex>.

== Соотношение классов Reg Примеры задач и языков из P ==Класс задач, разрешимых за полиномиальное время достаточно широк, вот несколько его представителей:* определение связности графов;* вычисление наибольшего общего делителя;* задача линейного программирования;* проверка простоты числа.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal, N.Kayal, N.Saxena, "Primes is in P"]</ref> Но существуют задачи не из <tex>\mathrm{P}</tex>, так как из [[теорема о временной иерархии|теоремы о временной иерархии]] следует, что <tex>\exists L \in \mathrm{EXP}\setminus\mathrm{P}</tex>.  

== Примеры задач и языков из P -полные задачи ==Класс Говоря про <tex>\mathrm{P}</tex>-[[Сведение относительно класса функций. Сведение по Карпу. Трудные и полные задачи#Определения трудных и полных задач|полноту]], мы, разрешимых за полиномиальное время достаточно широккак правило, вот несколько его представителей:* определение связности графов;* вычисление наибольшего общего делителя;* задача линейного программирования;* проверка простоты числаподразумеваем <tex>\mathrm{P}</tex>-полноту относительно <tex>\widetilde{\mathrm{L}}</tex>-сведения.<ref>[http://www.cse.iitk.ac.in/~manindra/algebra/primality_v6.pdf M.Argawal[Классы L, N.KayalNL, NcoNL.Saxena, "Primes is in P"NL-полнота задачи о достижимости]]</ref>

По [[теорема о временной иерархии{{Теорема|теореме о временной иерархии]] существуют задачи и не из statement =<tex>CIRCVAL</tex> {{---}} <tex>\mathrm{P}</tex>-полная задача.<ref>[http://www.math.sc.edu/~cooper/math778C/abct.pdf S.Arora, B.Barak, "Computational Complexity: A Modern Approach"]</ref>}}

[[Категория: Теория Классы сложности]]