1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
'''Теорема Карпа-Липтона'''
Если <texmath>NP \in subset P/poly</texmath> то <texmath>sigma2\Sigma_2=pi2\Pi_2</texmath>
== Доказательство ==
Пусть есть логические схемы для <tex>NP</tex> (для любой задачи из NP). Зафиксируем любую задачу из <tex>NP</tex>. Например пусть <tex>SAT</tex> разрешается логическими схемами <tex> C_1...C_n... </tex> (<tex>SAT</tex> с одним битом разрешается логической схемой <tex>C_1</tex>, <tex>SAT</tex> с двумя переменными логической схемой <tex>C_2</tex> и т.д.).
'''Что значит "разрешается логической схемой"?'''
Это значит что если на вход логической схеме подать каким-то логичным образом закодированную формулу, то на выходе получется логичным образом в виде 0 и 1 закодированный ответ - имеется разложение или нет. И причем размер этой логической схемы <tex>|C_n|\le p(n) </tex>, где <tex>p(n)</tex> - какой-то полином.
Здесь не утверждается, что эти логические схемы можно как-то конструктивно построить. Если бы их было возможно построить за полином, то это бы означало, что <tex>SAT_2=\Pi_2</tex> и значит <tex>P = NP</tex>.
Итак, получается, что если зафиксировать <tex>n</tex>, то для этого фиксированного <tex>n</tex> будет
<tex>\exists{C_n}\forall{} формулы \varphi{} (\varphi{} \in{} SAT |\varphi{}|=n \Leftrightarrow C_n(\varphi{})=1)</tex>
<tex> \exists{C_n} \forall{\varphi{}} (\forall{x} \varphi{(x)}=0 \Leftrightarrow C_n(\varphi{})=0)</tex>, где <tex>x</tex> - вход длины <tex>n</tex>
Рассмотрим язык <tex>L\in \Pi_2</tex>. Это означает, что <tex>x\in L \Leftrightarrow \forall{y} \exists{z}: \psi{(x,y,x)}</tex>
'''Что такое <tex>\exists{z}:\psi{(x,y,z)}</tex>?'''
----
Обозначим пары <tex><x,y></tex>, для которых такой <tex>z</tex> существует как какой нибудь язык <tex>L_1</tex>.
<tex>L_1 = \{<x,y>|\exists{z}: \psi{(x,y,z)}\}</tex>.
Заметим что <tex>L_1 \in NP</tex> по определению <tex>NP</tex>
Таким образом получается, что
<tex>L=\{x|\forall{y} <x,y>\in{L_1}\}</tex>
----
'''Требуется доказать, что <tex>L\in \Sigma_1</tex>'''
Если <tex>L_1\in{} NP</tex> то <tex>L_1 \le{}_m SAT</tex> с помощью <tex>f</tex>, т.е.
<tex>L=\{x|\forall{y} f(<x,y>)\in{SAT}\}</tex>
'''Что такое "<tex>f(<x,y>)\subset{SAT}</tex>"?'''
<tex>f(<x,y>)\subset{SAT}</tex> <tex>--</tex> для некоторого набора логических схем это означает выполнимость всего этого набора. Если предположить, что набор этих схем известен, то получится, что
<tex>L=\{x|\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>,
где <tex>n</tex>- длина входа <tex><x,y></tex>.
Требуется откуда то взять этот набор. Его можно угадать, используя квантор "<tex>\exists{}</tex>" снаружи.
<tex>C_n</tex> существует по предположению, что <tex>NP \subset{P/poly}</tex> т.е.
<tex>L=\{x|\exists{C_n}: C_n</tex> решает <tex>SAT</tex> и <tex>\forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>
'''Что такое <tex>C_n</tex> Решает <tex>SAT</tex>?'''
Запишем это используя квантор "<tex>\forall{}</tex>".
<tex>C_n</tex> решает <tex>SAT</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> если <tex>\forall{\varphi} \forall{x} (fi(x)=1 \Rightarrow C_n(fi)=1)</tex>
Воспользуемся самосведением <tex>SAT</tex>:
<tex>L=\{x|\exists{C1,C2,..,Cn} \forall{y} C_n(f(<x,y>))=1\}</tex>,
где - <tex>C1,C2,..,Cn</tex> набор логических схем для <tex>SAT</tex>.
Внутри будем проверять используемый набор
<tex>\forall{\varphi{}} (C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=0 \Rightarrow \forall{x} \varphi{}(x)=0)
\vee{}</tex>
<tex>(C_{|\varphi{}|}(\varphi{})=1 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0} \in SAT или \varphi{}|_{x_1=1} \in SAT)</tex>
Если <tex>C</tex> решает <tex>SAT</tex> то все хорошо. Если нет, то зафиксируем формулу <tex>\varphi{}_0</tex>, которую он не решает. Если на этой формуле выдаст 0, а должна выдать 1, то получается что не удовлетворяет первую часть предыдущего выражения и, значит, не будет работать. Если наоборот выдаст 1 а на самом деле формула не удавлетворима то обе скобки не выполнятся и опять формула работать не будет.
Рассмотрим минимальную неправильную схему. Тогда на той формуле, на которой эта схема неправильна, по предположению, что все более короткие формулы правильны,эта формула распознается схемами с меньшим числом входов. Поэтому обе скобки будут 0 и мы не узнаем набор схем. Развернем формулу до конца.
<tex> \forall{\varphi{}}: |\varphi{}|=m \forall{x_1}..\forall{x_m} </tex><tex> C_m(\varphi{})=0 \Rightarrow \varphi{(x_1)}=0</tex>
иначе <tex> C_{m-1}(\varphi|_{x_1=0})=0 \Rightarrow \varphi|_{x_1=0}(x_2)=0</tex>
<tex>C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})=0 \Rightarrow \varphi{}|_{x_1=0}(x_2)=0</tex>
<tex>C_{m-1}(\varphi{}|{x_1=0}) \vee{} C_{m-1}(\varphi{}|_{x_1=1})</tex>
Далее рекурсивно записываем ту же самую формулу от того из них, которое равно 1.
Второй вариант был угадать не только булевы схемы для сат но и те схемы, которые выдают правильные значения.
Получаем что <math>L\in \Sigma_2</math>
Теорема доказана
