|
|
| (не показано 16 промежуточных версий 3 участников) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | == Порядок элемента группы == | + | {{Определение |
| | + | |definition= |
| | + | '''Порядком''' элемента <tex>a</tex> [[группа|группы]] <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен. |
| | + | }} |
| | | | |
| − | '''Порядком''' элемента <tex>a</tex> группы <tex>G</tex> называется наименьшее <tex>n\in\mathbb{N}</tex>, что <tex>a^n = e</tex>. Если такого <tex>n</tex> не существует, то говорят, что порядок <tex>a</tex> бесконечен. В конечной группе у всех элементов конечный порядок. Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex>(иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>.
| + | === Примеры === |
| | + | * Порядок любого ненулевого элемента в группе целых чисел по сложению равен бесконечности. |
| | + | * Порядок элемента <tex>\overline{2}</tex> в группе вычетов по модулю <tex>4</tex> конечен и равен двум, поскольку <tex>2+2 \equiv 0 \pmod 4</tex>. |
| | | | |
| − | == Конечно порожденные группы == | + | === Свойства === |
| | + | {{Утверждение |
| | + | |statement=В [[конечная группа|конечной группе]] у всех элементов конечный порядок. |
| | + | |proof= |
| | + | Действительно, необходимо при некоторых <tex>n,m\in\mathbb{N},\, n>m</tex> совпадение степеней <tex>a</tex> (иначе получится бесконечное число различных элементов в группе). Но тогда порядок <tex>a</tex> не больше <tex>n-m</tex>: <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>. |
| | + | }} |
| | + | {{Определение |
| | + | |definition= |
| | + | <tex>p</tex>-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа <tex>p</tex>. Порядок разных элементов может быть разным. |
| | + | }} |
| | | | |
| − | Пусть <tex>S</tex> - подмножество элементов группы <tex>G</tex>. Обозначим через <tex>\langle S\rangle</tex> наименьшую подгруппу, содержащую <tex>S</tex>. Ею является множество всех возможных произведений элементов <tex>S</tex> и их обратных.
| + | === Примеры === |
| − | | + | * Группа вычетов по модулю простого числа относительно сложения: <tex>\mathbb{Z}/{p\mathbb{Z}}</tex>. |
| − | Если <tex>\langle S\rangle = G</tex>, то говорят, что <tex>S</tex> является '''системой образующих''' для <tex>G</tex>. <tex>G</tex> называется '''конечно порожденной''', если у нее есть конечная система образующих.
| + | * [[Циклическая группа]] порядка <tex>p^e</tex>. |
| − | | |
| − | == Циклические группы == | |
| − | | |
| − | Группа <tex>G</tex> называется '''циклической''', если у нее существует система образующих, состоящая из одного элемента <tex>a</tex>. Тогда все элементы группы имеют вид <tex>a^n,\,n\in\mathbb{Z}</tex>. | |
| − | | |
| − | Любая циклическая группа аблева, т.к. степени одного и того же элемента коммутируют между собой.
| |
| − | | |
| − | Примерами циклических групп являются группы <tex>\mathbb{Z},\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Вообще, любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>.
| |
| − | | |
| − | === Классификации циклических групп ===
| |
| − | | |
| − | '''Теорема''': любая конечная циклическая группа изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная - <tex>\mathbb{Z}</tex>.
| |
| − | | |
| − | Доказательство разбивается на два случая: порядок а конечен или бесконечен.
| |
| − | | |
| − | Пусть порядок <tex>a</tex> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> - изоморфизм. Очевидно, что <tex>\phi</tex> - гомоморфизм: <tex>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</tex>. По определению циклической группы <tex>\phi</tex> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <tex>n>m,\,a^n=a^m</tex>, тогда <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>, т.е. порядок <tex>a</tex> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <tex>\phi</tex> - биекция, а значит, и изоморфизм.
| |
| − | | |
| − | Пусть теперь порядок <tex>a</tex> конечен и равен <tex>r</tex>. Рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> - гомоморфизм. Пусть <tex>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z},\,c\equiv n+m\mod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z},\, k\geq 0</tex>. Тогда:
| |
| − | | |
| − | <tex>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m</tex>
| |
| − | | |
| − | <tex>\phi</tex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <tex>a^n=a^m,\, n<m<r</tex>, тогда
| |
| − | <tex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</tex>. Но <tex>r>m-n>0</tex>, т.е. <tex>r</tex> - не минимальная степень <tex>a</tex>, равная <tex>e</tex>. Противоречие. Значит, <tex>\phi</tex> - биекция, следовательно, и изоморфизм.
| |
| − | | |
| − | == p-группы ==
| |
| − | | |
| − | Пусть <tex>p</tex> - простое число. Тогда если <tex>0<a<p</tex>, то <tex>a</tex> и <tex>p</tex> взаимно просты. Это означает, что выполнено соотношение Безу: <tex>u\cdot p+v\cdot a=1</tex> для некоторых целых <tex>u,v</tex>. При этом можно считать, что <tex>0<v<p</tex>, т.к. в противном случае можно прибавить и вычесть <tex>a\cdot p</tex>, отчего <tex>v</tex> увеличится(уменьшится) на <tex>p</tex>, а <tex>u</tex> уменьшится(увеличится) на a. Иными словами, <tex>\forall a\in\mathbb{N},\,0<a<p : \exists v\in\mathbb{N},\,0<v<p : a\cdot v\equiv 1\mod p</tex>. Это означает, что числа от 1 до <tex>p</tex> вместе с операцией умножения по модулю <tex>p</tex> образуют группу <tex>\mathbb{Z}_p</tex>.
| |
| | | | |
| | [[Категория: Теория групп]] | | [[Категория: Теория групп]] |
