Теоретико-числовые функции — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Функция Мёбиуса)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 27 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
[[Категория: Удалить]]
== Мультипликативность функции ==
 
Функция <tex> \theta (a) </tex> называется '''мультипликативной''', если выполнены следующие условия: <br>
 
*1. Функция <tex> \theta (a) </tex> определена для всех целых положительных '''a''' и не обращается в 0 хотя бы при одном таком '''a'''
 
*2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>
 
== Функция Эйлера ==
 
Функция Эйлера <tex>\varphi (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a''' и представляет собою число чисел ряда <tex>0, 1, \ldots, a-1 </tex>, взаимно простых с '''a'''.
 
==== Примеры: ====
 
<tex> \varphi (1) = 1</tex>,    <tex> \varphi (4) = 2</tex>,<br>
 
<tex> \varphi (2) = 1</tex>,    <tex> \varphi (5) = 4</tex>,<br>
 
<tex> \varphi (3) = 2</tex>,    <tex> \varphi (6) = 2</tex>.<br>
 
==== Свойства функции Эйлера ====
 
*1. Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> - каноническое разложение числа '''a''', тогда
 
<tex> \varphi (a) = a(1 - \frac{1}{p_1}) (1 - \frac{1}{p_2}) \ldots (1 - \frac{1}{p_k})</tex>
 
*2. Из свойства 1, очевидно, следует, что при <tex> (a_1 \text{, } a_2 ) = 1 </tex> выполняется <tex> \varphi(a_1 a_2) = \varphi(a_1)\varphi(a_2) </tex>. То есть функция Эйлера является мультипликативной.
 
 
 
== Функция Мёбиуса ==
 
Функция '''Мёбиуса''' <tex> \mu (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a'''. Она задается равенствами: <br>
 
* <tex> \mu (a) = 0 </tex>, если '''a''' делится на квадрат, отличный от 1.
 
* <tex> \mu (a) = {(-1)}^k </tex>, если '''a''' не делится на квадрат, где '''k''' - число простых делителей '''a'''.
 
 
 
==== Свойства ====
 
*1. Функция Мёбиуса мультипликативна.
 
*2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю
 
: <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex>
 

Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022