1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}== Мультипликативность функции =={{Определение|definition=Функция <tex> \theta (a) </tex> называется '''мультипликативной''', если выполнены следующие условия: <br>*1. Функция <tex> \theta (a) </tex> определена для всех целых положительных '''a''' и не обращается в 0 хотя бы при одном таком '''a'''*2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>}} == Количество делителей == {{Определение|definition=Арифметическая функция <tex>~\tau (a) </tex> определяется как число положительных делителей натурального числа '''a''':<center><tex>~\tau(a) = \sum_{d|a} 1</tex></center>}} Если '''a''' и '''b''' [[Взаимно простые числа|взаимно простыКатегория: Удалить]], то каждый делитель произведения '''ab''' может быть единственным образом представлен в виде произведения делителей '''a''' и '''b''', и обратно, каждое такое произведение является делителем '''ab'''. Отсюда следует, что функция <tex>~\tau</tex> мультипликативна:<center><tex>~\tau(ab) = \tau(a) \tau(b)</tex></center> Пусть <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''',то в силу мультипликативности <center><tex>~\tau(a) = \tau(p_1^{\alpha_1}) \tau(p_2^{\alpha_2}) \ldots \tau(p_k^{\alpha_k})</tex></center> Но положительными делителями числа <tex>p_i^{\alpha_i}</tex> являются <tex>~\alpha_i+1</tex> чисел <tex>1, p_i, \ldots, p_i^{\alpha_i}</tex>. Значит,<center><tex>~\tau(n) = (\alpha_1+1) (\alpha_2+1) \ldots (\alpha_k+1)</tex></center> == Сумма делителей == {{Определение|definition=Функция <tex>~\sigma (a) </tex> определяется как сумма делителей натурального числа '''a''':<center><tex>~\sigma (a) = \sum_{d|a} d</tex></center>}} Функция <tex>~\sigma (a) </tex> мультипликативна по тем же соображениям, что и <tex>~\tau (a) </tex><center><tex>~\sigma (ab) = \sigma (a) \sigma(b)</tex></center> == Функция Мёбиуса == {{Определение|definition=Функция '''Мёбиуса''' <tex> \mu (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a'''. Она задается равенствами: <br>* <tex> \mu (a) = 0 </tex>, если '''a''' делится на квадрат, отличный от 1.* <tex> \mu (a) = {(-1)}^k </tex>, если '''a''' не делится на квадрат, где '''k''' — число простых делителей '''a'''.}} ==== Свойства ====*1. Функция Мёбиуса мультипликативна.*2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю: <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex> == Свертка Дирихле =={{Определение|definition='''Сверткой Дирихле''' двух мультипликативных функций '''f''' и '''g''', называется функция вида:<center> <tex> (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})</tex> </center> <br>}} '''Свойство.''' <tex> (f*g) </tex> - '''мультпликативна.''' <br>'''Доказательство свойства:'''<tex> (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = </tex><br><tex> = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) </tex> ч.т.д.
rollbackEdits.php mass rollback
