1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}== Мультипликативность функции =={{Определение|definition=Функция <tex> \theta (a) </tex> называется '''мультипликативной''', если выполнены следующие условия[[Категория: <br>*1. Функция <tex> \theta (a) </tex> определена для всех целых положительных '''a''' и не обращается в 0 хотя бы при одном таком '''a'''*2. Для любых положительных взаимно простых <tex> a_1 </tex> и <tex> a_2 </tex> имеем <tex> \theta(a_1 a_2) = \theta(a_1)\theta(a_2) </tex>}} == Функция Мёбиуса == {{Определение|definition=Функция '''Мёбиуса''' <tex> \mu (a) </tex> определяется для всех целых положительных '''a'''. Она задается равенствами: <br>* <tex> \mu (a) = 0 </tex>, если '''a''' делится на квадрат, отличный от 1.* <tex> \mu (a) = {(-1)}^k </tex>, если '''a''' не делится на квадрат, где '''k''' — число простых делителей '''a'''.}} ==== Свойства ====*1. Функция Мёбиуса мультипликативна.*2. Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа '''n''', не равного единице, равна нулю: <tex>\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}</tex> == Свертка Дирихле =={{Определение|definition='''Сверткой Дирихле''' двух мультипликативных функций '''f''' и '''g''', называется функция вида:<center> <tex> (f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d})</tex> </center> <br>}} '''Свойство.''' <tex> (f*g) </tex> - '''мультпликативна.''' <br>'''Доказательство свойства:'''<tex> (m;n)=1 \text{ ,} (f*g)(mn) = \sum_{d|n} f(d)g(\frac{nm}{d}) = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1 d_2)g(\frac{nm}{d_1 d_2}) = </tex><br><tex> = \sum_{d_1|n,d_2|m} f(d_1) f(d_2)g(\frac{n}{d_1}) g(\frac{m}{d_2}) = (\sum_{d_1|n} f(d_1)g(\frac{n}{d_1}))*(\sum_{d_2|m} f(d_2)g(\frac{m}{d_2})) </tex> ч.т.д.Удалить]]
rollbackEdits.php mass rollback
