1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
<b>Евклидово кольцо</b> - [[Определение кольца, подкольца, изоморфизмы колец|кольцо]], в котором существует алгоритм евклидаЕвклида.
}}
{{Определение
|definition=
<b>Евклидово кольцо</b> - это [[Делители нуля, области целостности|область целостности]] <tex>R</tex>, для которой определена евклидова норма <tex>\|\cdot \| :R \rightarrow \mathbb{N}\cup\{-\infty\}</tex>, причем <tex>\|a\|=-\infty \Leftrightarrow a=0</tex>, для <tex>\forall a,b\in R \exists</tex> представление <tex>a=b\cdot q + r, для которого \|r\|<\|db\|</tex>
}}
==Примеры==
#<tex>\mathbb{Z}</tex>, тогда <tex>\|a\|=|a|</tex>
#<tex>\mathbb{Q}[x]</tex>, тогда <tex>\|f(x)\|=deg(f(x))</tex><br>
<tex>|a\cdot b|^2=|a|^2\cdot |b|^2\geq |b|^2</tex>, кроме того <tex>\|a\cdot b\|\geq \|b\|=|b|^2 \Rightarrow |a\cdot b|^2=\|a\cdot b\|</tex>
#<tex>\mathbb{Z}[i]: \|a+b\cdot i\|=a^2+b^2</tex>, т.e. <tex>\|z\|=|z|^2</tex>
==Алгоритм Евклида==
Изначально даны <tex>a,b\in R</tex>, необходимо найти их НОД. Пусть <tex>a<b</tex>. Поделим <tex>b</tex> на <tex>a</tex> с остатком<br>
<tex>r_n=r_{n+1}\cdot u_{n+2}</tex>.<br>
Число <tex>r_{n+1}</tex> является НОД чисел <tex>a</tex> и <tex>b</tex>. Алгоритм заканчивает свою работу, поскольку <tex>\forall a \in \mathbb{N} \cup \{-\infty\}</tex> может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел.
==Свойства==
#В евклидовых кольцах единственно разложение на множители.
#<tex>a\cdot b\vdots p \Rightarrow a\vdots p \lor b\vdots p</tex> <br> Пусть <tex>gcd(a,p)=1 \Rightarrow 1=a\cdot x+p\cdot y; x,y \in \mathbb{R} \Rightarrow b=a\cdot b\cdot x + p\cdot b\cdot y \vdots p \Rightarrow b\vdots p</tex>
#Если а и b - не [[Единицы (обратимые элементы), группа обратимых элементов|обратимы]], то <tex>\|a\cdot b\|>\|b\|</tex><br> Пусть <tex>b=k\cdot a\cdot b+r;r\neq 0;\|r\|<\|a\cdot b\|\Rightarrow r=b-k\cdot a\cdot b\Rightarrow \|r\|=\|b\cdot(1-k\cdot a)\|>\|b\|</tex>
