Отношение рёберной двусвязности — различия между версиями
м (rollbackEdits.php mass rollback) |
|||
| (не показано 12 промежуточных версий 7 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | == | + | == Рёберная двусвязность == |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition = | |definition = | ||
| − | Две вершины <tex>u</tex> и <tex> v</tex> [[Основные определения теории графов|графа]] <tex>G</tex> называются ''' | + | Две вершины <tex>u</tex> и <tex> v</tex> [[Основные определения теории графов|графа]] <tex>G</tex> называются '''рёберно двусвязными''' ''(англ. edge biconnected)'', если между этими вершинами существуют два рёберно непересекающихся пути. |
}} | }} | ||
{{Теорема | {{Теорема | ||
|statement= | |statement= | ||
| − | Отношение | + | Отношение рёберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах. |
|proof= | |proof= | ||
| − | Пусть <tex>R</tex> {{---}} отношение | + | Пусть <tex>R</tex> {{---}} отношение рёберной двусвязности.[[Файл: Edge_biconnected.png|right|300px|thumb|К доказательству транзитивности.]] |
'''Рефлексивность:''' <tex>(u, u)\in R. </tex> (Очевидно) | '''Рефлексивность:''' <tex>(u, u)\in R. </tex> (Очевидно) | ||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
''Доказательство:'' | ''Доказательство:'' | ||
| − | Пусть из <tex> w </tex> в <tex> v </tex> есть два | + | Пусть из <tex> w </tex> в <tex> v </tex> есть два рёберно непересекающихся пути, <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> соответственно. Обозначим за <tex> C </tex> объединение двух рёберно непересекающихся путей из <tex> u </tex> в <tex> v </tex>. |
| − | <tex> C </tex> будет | + | <tex> C </tex> будет рёберно-простым циклом. |
Пусть вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} первые со стороны <tex>w</tex> вершины на пересечении <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> с <tex> C </tex> соответственно. | Пусть вершины <tex>a</tex> и <tex>b</tex> {{---}} первые со стороны <tex>w</tex> вершины на пересечении <tex> P_1 </tex> и <tex> P_2 </tex> с <tex> C </tex> соответственно. | ||
| − | Рассмотрим два пути <tex> wau </tex> и <tex> wbu </tex>, такие, что части <tex> au </tex> и <tex> bu </tex> идут в разные стороны по циклу <tex> C </tex>. Наличие двух таких | + | Рассмотрим два пути <tex> wau </tex> и <tex> wbu </tex>, такие, что части <tex> au </tex> и <tex> bu </tex> идут в разные стороны по циклу <tex> C </tex>. Наличие двух таких рёберно непересекающихся путей очевидно, а значит <tex> u </tex> и <tex> w </tex> рёберно двусвязны. |
}} | }} | ||
| − | == Компоненты | + | == Компоненты рёберной двусвязности == |
{{Определение | {{Определение | ||
|definition = | |definition = | ||
| − | '''Компонентами | + | '''Компонентами рёберной двусвязности''' ''(англ. costal doubly-linked components)'' графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности. |
}} | }} | ||
== См. также == | == См. также == | ||
*[[Отношение вершинной двусвязности]] | *[[Отношение вершинной двусвязности]] | ||
| − | |||
| − | == | + | == Источники информации == |
* Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6 | * Харари Фрэнк '''Теория графов''' = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6 | ||
| + | *[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/graph-general/biconnected-components-2005 Визуализатор - компоненты двусвязности] | ||
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]] | [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]] | ||
[[Категория:Связность в графах]] | [[Категория:Связность в графах]] | ||
Текущая версия на 19:18, 4 сентября 2022
Содержание
Рёберная двусвязность
| Определение: |
| Две вершины и графа называются рёберно двусвязными (англ. edge biconnected), если между этими вершинами существуют два рёберно непересекающихся пути. |
| Теорема: |
Отношение рёберной двусвязности является отношением эквивалентности на вершинах. |
| Доказательство: |
|
Пусть — отношение рёберной двусвязности.
Рефлексивность: (Очевидно) Симметричность: (Очевидно) Транзитивность: и Доказательство: Пусть из в есть два рёберно непересекающихся пути, и соответственно. Обозначим за объединение двух рёберно непересекающихся путей из в . будет рёберно-простым циклом. Пусть вершины и — первые со стороны вершины на пересечении и с соответственно. Рассмотрим два пути и , такие, что части и идут в разные стороны по циклу . Наличие двух таких рёберно непересекающихся путей очевидно, а значит и рёберно двусвязны. |
Компоненты рёберной двусвязности
| Определение: |
| Компонентами рёберной двусвязности (англ. costal doubly-linked components) графа называют его подграфы, множества вершин которых - классы эквивалентности рёберной двусвязности, а множества рёбер - множества ребер из соответствующих классов эквивалентности. |
См. также
Источники информации
- Харари Фрэнк Теория графов = Graph theory/Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 60 с. — ISBN 5-354-00301-6
- Визуализатор - компоненты двусвязности
