1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
Пусть <tex> P = (p_1,p_2,\dots,p_n)</tex> является [[Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов|перестановкой]] чисел <tex> 1, 2,\dots, n</tex>.
{{Определение
|definition =
'''Инверсией''' (англ. ''inversion'') в перестановке <tex>P</tex> называется всякая пара индексов <tex>i, j</tex> такая, что <tex>1\leqslant i<j\leqslant n</tex> и <tex>P[i]>P[j]</tex>.
}}
{{Определение
|definition =
'''Таблицей инверсий''' (англ. ''inversion table'') перестановки <tex> P </tex> называют такую последовательность <tex> T = (t_1,t_2,\dots,t_n)</tex>, в которой <tex>t_i</tex> равно числу элементов перестановки <tex> P </tex>, стоящих в <tex> P </tex> левее числа <tex>i</tex> и больших <tex>i</tex>.
}}
== Алгоритм построения за O(N<sup>2</sup>) ==
Таблицу инверсий тривиально построить по определению. Для каждого элемента перестановки считаем количество элементов, больших данного и стоящих в перестановке левее него.
Алгоритм построения в псевдокоде выглядит так:
T[1..n] = 0
'''for''' i = 1..n
'''for''' j = 1..(i - 1)
'''if''' P[j] > P[i]
T[P[i]] = T[P[i]]++
Сложность данного алгоритма {{---}} <tex>O(n^2)</tex>. Уменьшить время работы можно используя алгоритм, похожий на [[Сортировка_слиянием |сортировку слиянием.]]
== Алгоритм построения за O(N log N) ==
Пусть дано разбиение перестановки на два списка, причём для каждого элемента дано число инверсий слева с элементами того же списка и известно, что все числа первого списка стоят левее всех чисел второго списка в исходной перестановке. Будем считать количество инверсий слева элементов обоих списков следующим образом: сливаем списки, аналогично [[Сортировка_слиянием |сортировке слиянием.]]
Если в результат нужно записать элемент первого списка, то все нерассмотренные элементы второго списка больше, следовательно, количество инверсий для этого элемента не меняется. Если в результат нужно записать элемент второго списка, то все нерассмотренные элементы первого списка больше его и стоят левее. Следовательно, количество инверсий для этого элемента следует увеличить на количество нерассмотренных элементов первого списка.
Описанный алгоритм записывается в псевдокод следующим образом:
<font color=green>// ''inverses_merge'' {{---}} процедура, сливающая два списка пар</font>
<font color=green>// ''inverses_get'' {{---}} процедура, рекурсивно получающая таблицу инверсий для перестановки</font>
'''def''' inverses_merge(ls1, ls2):
result = []
it1, it2 = ''null''
'''while''' (it1 < ls1.length) '''and''' (it2 < ls2.length)
'''if''' ls1[it1].item < ls2[it2].item
result.append(ls1[it1])
it1++
'''else'''
result.append(item = ls2[it2].item, inverses = ls2[it2].inverses + ls1.length - it1)
it2++
'''while''' it1 < ls1.length
result.append(ls1[it1])
it1++
'''while''' it2 < ls2.length
result.append(ls2[it2])
it2++
'''return''' result
'''def''' inverses_get(ls):
'''if''' ls.length == 1
'''return''' [(item = ls[0], inverses = 0)]
'''else'''
'''return''' inverses_merge(inverses_get(ls.first_half), inverses_get(ls.second_half))
Сложность представленного алгоритма есть <tex>O(n\log n)</tex>. Алгоритм с такой же сложностью можно построить с помощью [[Дерево_отрезков._Построение | дерева отрезков.]]
== Алгоритм построения за O(N) ==
Для построения таблицы инверсий за линейное время воспользуемся [[Карманная сортировка | карманной сортировкой]]. При [[Карманная сортировка | карманной сортировке]] нужно определить карман <tex>B</tex>, в который попадет текущий элемент. Затем найти число элементов в старших карманах относительно <tex>B</tex>. Потом аккуратно подсчитать количество элементов, больших текущего в кармане <tex>B</tex>. Карман <tex>A</tex> считается старшим для кармана <tex>B</tex>, если любой элемент из <tex>A</tex> больше любого элемента из <tex>B</tex>.
'''int''' bucket_sort('''vector<int>''' permutation):
'''int''' max = число больше permutation.size и из которого можно извлечь целый квадратный корень
'''int''' bucket = sqrt(max)
'''int''' answer = 0<font color=green> // изначально кол-во инверсий</font>
'''list<list<int>>''' bank(bucket)
'''for''' i = 0 to permutation.size
'''int''' pos = (permutation[i] - 1) / (max / bucket) <font color=green>// Определяем в каком кармане должен лежать элемент</font>
'''int''' newPosition = 0
'''while''' newPosition < bank[pos].size '''and''' bank[pos][newPosition] < permutation[i] <font color=green>// идем до позиции где должен стоять элемент permutation[i] </font>
newPosition++
answer += bank[pos].size - newPosition <font color=green>// ищем сколько инверсий эленент создает в своем кармане</font>
bank[pos].insert(newPosition, permutation[i]) <font color=green>// вставляем элемент в Карман на свою позицию </font>
'''for''' i = position + 1 to bucket - 1 <font color=green>// ищем сколько инверсий он создает с элементами в других карманах</font>
answer += bank[i].size
'''return''' answer
В разделе [[Карманная сортировка | карманная сортировка]] доказывается, что она работает за линейное время. Что касается подсчета инверсий, то в приведенной реализации происходит [[Карманная сортировка | карманная сортировка]] в online режиме и вся математическая часть подходит и под этот случай.
Следует отметить, что хотя подсчет с помощью [[Карманная сортировка | карманной сортировки]] выполняется за линейное время, но имеет очень большую константу поэтому подсчет инверсий рассматриваемый выше за <tex>O(n\log n)</tex> работает быстрее .
== Алгоритм восстановления ==
Для восстановления перестановки по таблицы инверсий <tex>T</tex> воспользуемся следующим соображением: единица стоит в перестановке на <tex>T_0</tex>-ом месте (индексируем элементы с нуля), так как остальные числа в перестановке больше единицы. Далее, если известны расположения всех чисел <tex>1, \dots, k</tex>, то число <tex>k + 1</tex> стоит на <tex>T_{k + 1}</tex>-ой ещё не занятой позиции: все числа, меньшие <tex>k + 1</tex> уже расставлены. Это рассуждение напрямую переписывается в код следующим образом:
<font color=green>// ''j'' {{---}} счётчик пропущенных свободных позиций</font>
<font color=green>// ''k'' {{---}} количество инверсий слева для элемента curr</font>
<font color=green>// ''result'' {{---}} массив, в который записывается перестановка. Равенство элемента массива нулю обозначает, что эта позиция свободна.</font>
'''def''' recover_straight(ls):
n = ls.length
result = array(0, n)
curr = 1
'''for''' k '''in''' ls
j = 0
'''for''' i = 0..(n - 1)
'''if''' result[i] == 0
'''if''' j == k
result[i] = curr
'''break'''
'''else:'''
j++
curr++
'''return''' result
Этот простой алгоритм имеет сложность <tex>O(n^2)</tex> — внутренний цикл делает до <tex>n</tex> итераций, внешний — ровно <tex>n</tex> итераций.
Видно, что для восстановления нужно узнавать <tex>k</tex>-ую свободную позицию. Это можно делать с помощью [[Дерево_отрезков._Построение | дерева отрезков]] следующим образом: построим дерево отрезков для суммы на массиве из единиц. Единица в позиции означает, что данная позиция свободна. Чтобы найти <tex>k</tex>-ую свободную позицию, нужно спускаться (начиная с корня) в левое поддерево если сумма в нём больше, чем <tex>k</tex>, и в правое дерево иначе.
Данный алгоритм переписывается в код следующим образом:
<font color=green>// ''build_segment_tree'' {{---}} строит дерево отрезков над массивом</font>
<font color=green>// ''node'' {{---}} вершина дерева</font>
<font color=green>// ''node.index'' {{---}} индекс соответствующего элемента в массиве для листа дерева</font>
'''def''' recover(inv):
n = inv.length
tree = build_segment_tree(array(n, 1))
result = array(n)
curr = 1
'''for''' k '''in''' inv
node = tree.root
'''while''' !node.is_leaf
'''if''' k < node.left.value
node = node.left
'''else'''
k -= node.left.value
node = node.right
result[node.index] = curr
node.add(-1)
curr++
'''return''' result
Этот алгоритм имеет сложность <tex>O(n \log n)</tex>: делается <tex>n</tex> итераций цикла, в которой происходит спуск по дереву высоты <tex>O(\log n)</tex> и один запрос на дереве отрезков. Таким образом, время работы алгоритма на каждой итерации есть <tex>O(\log n)</tex>.
== Пример ==
Рассмотрим пример построения таблицы инверсий и восстановления перестановки по таблице инверсий. Пусть дана перестановка <tex>(5, 7, 1, 3, 4, 6, 8, 2)</tex>. Следующая таблица показывает работу алгоритма за <tex>O(n \log n)</tex>, на каждой строке один уровень рекурсии (на первой строке — самый глубокий). В скобках стоят пары: элемент перестановки, количество инверсий. Полужирным отмечены элементы, у которых обновилось значение количества инверсий на данном шаге.
{| style = "border: 0px solid; background-color: gray; text-align: center; padding : 0" cellspacing = "2"
| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(5, 0)
| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(7, 0)
| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(1, 0)
| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(3, 0)
| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(4, 0)
| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(6, 0)
| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(8, 0)
| style = "background-color: white; padding: 3px 6px" |(2, 0)
|-
|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(5, 0), (7, 0)
|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(1, 0), (3, 0)
|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(4, 0), (6, 0)
|colspan = "2" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(2, 1)''', (8, 0)
|-
|colspan = "4" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(1, 2)''', '''(3, 2)''', (5, 0), (7, 0)
|colspan = "4" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|'''(2, 3)''', (4, 0), (6, 0), (8, 0)
|-
|colspan = "8" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|(1, 2), '''(2, 6)''', (3, 2), '''(4, 2)''', (5, 0), '''(6, 1)''', (7, 0), (8, 0)
|}
Полученная таблица инверсий: <tex>(2, 6, 2, 2, 0, 1, 0, 0)</tex>. Восстановим перестановку по таблице инверсий, начиная с пустого массива.
{| style = "border: 0px solid; background-color: grey; text-align: center; padding : 0;" cellspacing = "2"
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{1}</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{1}</tex>
|-
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{2}</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем шесть свободных позиций и ставим <tex>\bf{2}</tex>
|-
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{3}</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{3}</tex>
|-
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{4}</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем две свободных позиции и ставим <tex>\bf{4}</tex>
|-
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{5}</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|не пропускаем свободных позиции и ставим <tex>\bf{5}</tex>
|-
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{6}</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|пропускаем одну свободную позицию и ставим <tex>\bf{6}</tex>
|-
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{7}</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>6</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>0</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|не пропускаем свободных позиций и ставим <tex>\bf{7}</tex>
|-
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>5</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>7</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>1</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>3</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>4</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>6</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>\bf{8}</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: white; padding: 3px 6px"|<tex>2</tex>
|colspan = "1" style = "background-color: #EEF; text-align: left; padding: 3px 6px"|не пропускаем свободных позиций и ставим <tex>\bf{8}</tex>
|}
== См. также ==
* [[Матричное представление перестановок]]
== Источники информации ==
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation Wikipedia {{---}} Permutation]
* Д. Кнут - Искусство программирования, том 3 {{---}} 29-31 с.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика ]]
