1632
правки
Изменения
м
ВейерштрассБернштейн
Докажем сначала теорему Бернштейна, рассматривающую только функции, непрерывные на Рассмотрим функцию <tex>[0; 1]f(x)</tex>. Рассмотрим такую функцию , непрерывную на отрезке <tex>f(x)[a; b]</tex>. Определим полиномы:
Для <tex>x \in [0; 1] \quad x(1-x) \le \frac 14</tex>. Учитывая то, что <tex>\omega(t)</tex> возрастает, окончательно получаем:
rollbackEdits.php mass rollback
== Теорема о существовании искомого полинома ==
Докажем сначала теорему Бернштейна, рассматривающую только функции, непрерывные на <tex>[0; 1]</tex>.
{{Теорема
|author=
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> - непрерывна на <tex>[a0; b1]</tex>. Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists P(x)</tex> - полином, такой, что <tex>\forall x \in [a0; b1] \Rightarrow |f(x) - P(x)| < \varepsilon</tex>
|proof=
:<tex>B_n(f, x) = \sum\limits_{k = 0}^{n}f\left(\frac kn \right)C_n^k x^k (1 - x)^{n - k}</tex>, которые называются полиномами Бернштейна функции <tex>f</tex>.
Вернемся к свертыванию суммы:
:<tex>\sum\limits_{k = 0}^n \left(x - \frac kn\right)^2 C_n^k x^k (1-x)^{n-k} =</tex>(раскрывая квадрат и подставляя <tex>p</tex> и <tex>q</tex>)<tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex>
Первые две суммы в скобках можно посчитать по уже известным формулам, полученным из производящей функции, для вычисления третьей заметим, что <tex>k^2 = k(k-1) + k</tex>.
:<tex>\frac 1{n^2} \left( n^2 p^2 \sum\limits_{k = 0}^n C_n^k p^k q^{n-k} - 2np \sum\limits_{k = 0}^n k C_n^k p^k q^{n-k} + \sum\limits_{k = 0}^n k^2 C_n^k p^k q^{n-k}\right)</tex> <tex> = \frac 1{n^2}(n^2 p^2 \cdot 1 - 2np \cdot np + np + n(n-1)p^2) = </tex> <tex dpi = "130">\frac{np - np^2}{n^2} = \frac{pq}n = \frac{x(1-x)}n</tex>, ч. т. д.
{{Лемма
|statement=<tex>|f(x)-B_n(f, x)| \le 2 \omega(f, \frac 1{2 \sqrt n})</tex>
}}
Теперь докажем для произвольного отрезка <tex>[a; b]</tex>.
{{Теорема
|id=
weirstrasscont
|author=
Вейерштрасс
|statement=
Пусть функция <tex>f</tex> непрерывна на отрезке <tex>[a; b]</tex>.
Тогда <tex>\forall \varepsilon > 0\ \exists B_n P \forall x \in [0; 1]: |f(x) - B_nP(f, x)| < \le \varepsilon</tex>
|proof=
Теорема Вейерштрасса напрямую следует из теоремы Бернштейна. Отрезок <tex>[0; 1]</tex> можно перевести в отрезок <tex>[a; b]</tex>линейным преобразованием вида <tex>y = (b - a)x + a</tex>. Также существует обратное преобразование <tex dpi=130>x = \frac{y - a}{TODOb - a}</tex>. Оба этих преобразования линейны. Рассмотрим вспомогательную функцию <tex>g(t) = f((b - a)t + a),\ t \in [0; 1]</tex>. По только что доказанной теореме Бернштейна, <tex>|g(t) - B_n(t)| \leq \varepsilon </tex>. Так как <tex dpi=Доказательство130>t = \frac{x - a}{b - a}</tex>, то, подставляя это, получаем <tex dpi=130>|f(x) - B_n(g, \frac{x - a}{a - b})| \leq \varepsilon</tex>. Значит, можно взять <tex dpi=130>P(x) = B_n(g, \frac{x - a}{b - a})</tex>.}} == Равномерная сходимость == Всё это переводится на язык равномерной сходимости или так называемой Чебышёвской метрики. {{Определение|definition=<tex>\mathcal{C}[a, b]</tex> {{---}} класс функций, непрерывных на <tex>[a; b]</tex>.}} По арифметике непрерывности получаем, что <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex> {{---}} линейное множество: если <tex>f, g \in \mathcal{C}[a, b]</tex>, то тогда <tex>\forall \alpha, \beta\quad \alpha f(x) + \beta g(x) \in \mathcal{C}[a, b]</tex>. {{Определение|definition=Чебышёвская(равномерная) норма функции <tex>\| f \| = \max\limits_{[a; b]} |f(x)|</tex>}} Эта величина удовлетворяет трем законам:* <tex>\| f \| \ge 0</tex> и <tex>\| f \| = 0 \iff f = 0</tex>* <tex>\| \alpha f \| = |\alpha| \| f \|</tex>* <tex>\| f + g \| \le \| f \| + \| g \|</tex> {{Определение|definition=<tex>f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n</tex> в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>, если <tex>\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0</tex>.Или, по определению предела, <tex>\lim\limits_{n \to \infty}\| f_n - f \| = 0 \iff \forall \varepsilon \ \exists N\ \forall n > N\ \forall x \in [a; b]:\quad |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon</tex>.Если правую часть воспринимать независимо от нормы, то говорят, что <tex>f_n \stackrel{[a; b]}{\rightrightarrows}f</tex> (<tex>f_n</tex> ''равномерно сходится'' к <tex>f</tex>).
}}
С этой точки зрения, теорема Вейерштрасса означает следующее. Обозначим за <tex>\mathcal{P}</tex> множество всех полиномов.
Тогда <tex>\mathcal{P}</tex> {{---}} линейное множество в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>.
По теореме Вейерштрасса получаем <tex>\forall \varepsilon > 0\ \forall f \in \mathcal{C}[a; b]\ \exists T \in \mathcal{P}: \ \| f - T \| < \varepsilon</tex>. Поэтому, по аналогии с рациональными числами, говорят, что <tex>\mathcal{P}</tex> ''всюду плотно'' расположено в <tex>\mathcal{C}[a, b]</tex>
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
