Формула Тейлора для произвольной функции

Введение

Пафос mode on

Формула Тейлора для функций является венцом развития классического анализа. После её открытия анализ стал развиваться по-другому. Так-то!

Пафос mode off

Пусть функция [math]y = f(x)[/math] [math]\ n[/math] раз дифференцируема в точке [math]x_0[/math]

Определение:

[math]T_n(f, x) = T_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k[/math] — полином Тейлора функции [math]f(x)[/math]

Таким же способом, каким была найдена формула для [math]b_k[/math], легко проверить основное свойство полинома Тейлора:

[math]T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0)[/math]. Однако, в общем случае, при [math]x \approx x_0[/math], [math]T_n(x) \ne f(x)[/math]

Определение:

[math]f(x) = T_n(x) + r_n(x)[/math], где [math]r_n(x)[/math] — остаток формулы Тейлора.

Сейчас мы получим ряд свойств этого остатка при [math]x \to x_0[/math].

Если [math]f(x) = P_n(x)[/math], то, по теореме Тейлора, [math]f(x) = T_n(x)[/math], [math]r_n(x) = 0[/math]

Теорема Пеано

Теорема (Пеано):

Пусть [math]f[/math] [math]n[/math] раз дифференцируема в точке [math]x_0[/math]. Тогда [math]f(x) = \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k + o((x - x_0)^n)[/math]. где [math]o(a)[/math] — такая величина, что [math]\frac{o(a)}{a} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0[/math]. [math]o((x - x_0)^n) = \alpha(x) (x-x_0)^n[/math], где [math]\alpha(x) \xrightarrow[x \to x_0]{} 0[/math]. Иначе говоря, порядок малости величины слева больше [math]n[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]r_n(x) = f(x) - T_n(x)[/math] Нужно доказать, что [math]\frac{r_n(x)}{(x - x_0)^n} \xrightarrow[x \to x_0]{} 0[/math] [math]T_n^{(k)}(x_0) = f^{(k)}(x_0), \ k = \overline{0, n}[/math] [math]\left[(x-x_0)^n \right]^{(k)} = n(n - 1) \ldots (n - k + 1)(x - x_0)^{n - k}, \quad k = \overline{0, n}[/math] [math]\frac{r_n(x)}{T_n(x)}[/math] — неопределённость [math]\frac00[/math]. Раскроем по правилу Лопиталя: [math]\frac{r_n(x)}{T_n(x)} \sim \frac{r_n^{(1)}(x)}{T_n^{(1)}(x)} \sim \cdots \sim \frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} = \frac00[/math]. Последнюю неопределённость уже не раскрыть по правилу Лопиталя, так как следующая производная числителя существует только в [math]x_0[/math], но не в её окрестности. Воспользуемся тем, что [math] r_n^{(n - 1)}(x_0) = 0 [/math]: [math]\frac{r_n^{(n - 1)}(x)}{x - x_0} =[/math] [math]\frac{r_n^{(n - 1)}(x) - r_n^{(n - 1)}(x_0)}{x - x_0} \xrightarrow[x \to x_0]{} r_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) - T_n^{(n)}(x_0) = 0[/math] Это отношение приращения функции к приращению аргумента — по определению проиизводная.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема Лагранжа

Если потребовать чего-то большего, чем существование [math]f^{(k)}(x)[/math], то остаток можно уточнить. В этом нам поможет теорема Лагранжа.

Теорема (Лагранж):

Пусть [math]f[/math] [math]n + 1[/math] раз дифференцируема в окрестности точки [math]x_0[/math]. Тогда [math]\forall x \in V(x_0)\ \exists c_x \in (x_0; x) \cup (x; x_0) \ : f(x)[/math] [math]= \sum\limits_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^k + \frac{f^{(n + 1)}(c_x)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} [/math] [math]c_x = x_0 + \Theta(x - x_0), \quad \Theta \in (0; 1)[/math] [math]f(x)[/math] — формула Тейлора с остатком по Лагранжу.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Введём вспомогательную функцию [math]g(t) = f(x) - \sum\limits_{k = 0}^n \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x - t)^k[/math], причём [math]t[/math] находится между [math]x[/math] и [math]x_0[/math] [math]g(x) = 0[/math] Заметим, что [math]g(x_0)[/math] — остаток в формуле Тейлора. Найдём [math]g'[/math]: [math]g' = - \sum\limits_{k = 0}^n \left( \frac{1}{k!} f^{(k + 1)}(t) (x - t)^k - k(x - t)^{k - 1} \frac1{k!} f^{(k)}(t) \right) = [/math] [math]= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^n f^{(k)}(t) \frac1{(k - 1)!} (x - t)^{k - 1} = [/math] [math]= -\sum\limits_{k = 0}^n f^{(k + 1)}(t)\frac1{k!} (x - t)^k + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f^{(k + 1)}(t) \frac1{k!} (x - t)^k = [/math] (суммы сокращаются) [math]= -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!} (x - t)^n[/math] [math]g(x) = 0[/math], [math]g(x_0) = r_0(x)[/math], [math]g'(t) = -f^{(n + 1)}(t) \frac1{n!}(x - t)^n[/math] Обозначим за [math]\varphi(t) = (x - t)^{n + 1}[/math]. Тогда [math]\varphi'(t) = -(n + 1)(x - t)^n[/math]. При [math]t = x_0[/math], [math]\varphi'(t) \ne 0[/math]. Рассмотрим дробь [math]\frac{g(x)- g(x_0)}{\varphi(x) - \varphi(x_0)} =[/math] (применим к этой дроби формулу Коши для приращений) [math]\frac{g'(c_x)}{\varphi'(c_x)} = [/math] [math] \frac{f^{(n + 1)}(c_x) (x - c_x)^n}{(n + 1)! (x - c_x)^n} = \frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!}[/math] Но, с другой стороны, [math]\frac{g(x) - g(x_0)}{\varphi(x) - \varphi(x_0)} = \frac{-r_n(x)}{-(x - x_0)^{n + 1}}[/math] Тогда получим [math]\frac{f^{(n + 1)}(t)}{(n + 1)!} = \frac{+r_n(x)}{+(x - x_0)^{n + 1}}[/math], что и требовалось.

[math]\triangleleft[/math]

Исследование функции на экстремум

Покажем, как использовать формулу Тейлора для исследования функции на экстремум. [math]y = f(x), \quad f'(x_0) = 0[/math]. Нужно определить, является ли точка [math]x_0[/math] точкой эктремума.

Будем считать, что функция дифференцируема любое нужное нам число раз.

[math]f'(x_0) = 0[/math]. Пусть [math]f^{(1)}(x_0) = f^{(2)}(x_0) = \ldots = f^{(p - 1)}(x_0) = 0, \ f^{(p)}(x_0) \ne 0[/math]. [math]p[/math] — первое такое число, что производная [math]f[/math] такого порядка в этой точке не равна 0. По формуле Тейлора с остатком по Пеано, [math]f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p + o((x - x_0)^p)[/math]

[math]f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(p)}(x_0)}{p!}(x - x_0)^p(1 + o(1))[/math]. При [math]x \approx x_0, \quad 1 + o(1) \gt \frac12[/math].

[math]\operatorname{sign}(f(x)- f(x_0)) = \operatorname{sign}(f^{(p)}(x_0)(x - x_0)^p)[/math]

Заметим, что [math]\operatorname{sign}(f^{(p)}) = \mathrm{const}[/math], а [math]\operatorname{sign}((x - x_0)^p)[/math] — изменяется. Тогда возможны два случая:

• [math]p[/math] — чётное:

[math]\operatorname{sign}(x - x_0)^p = 1[/math]

Тогда [math]\operatorname{sign}(f(x) - f(x_0)) = \operatorname{sign}(f^{(p)}(x_0))[/math]

Если [math] f^{(p)}(x_0) [/math] больше [math]0[/math], то в [math]x_0[/math] минимум, если меньше — то максимум.

• [math]p[/math] — нечётное:

[math]\operatorname{sign}(x - x_0)^p = \pm 1[/math] в зависимости от того, с какой стороны [math]x[/math] находится от [math]x_0[/math] на числовой оси. Значит, экстремума в точке [math]x_0[/math] нет.

Разложение ряда элементарных функций по формуле Тейлора

Разложим ряд элементарных функций в точке [math]0[/math] по формуле Тейлора:

y = e^x

[math]y = e^x[/math]

[math]y' = e^x, \ y^{(k)} = e^x[/math]

[math]\left. (e^x)^{(k)} \right|_0 = 1[/math]

[math]e^x = \sum\limits_{k = 0}^n \frac1{k!}x^k + o(x^n)[/math]

y = ln(x + 1)

[math]y = \ln(x + 1)[/math]

[math]y(0) = 0, \ y' = (1 + x)^{-1}[/math]

[math]y^{(k + 1)}(x) = [(1 + x)^{-1}]^{(k)} = (-1)\ldots(-1 - k + 1)(x + 1)^{-1-k}[/math]

[math]\left. y^{(k + 1)}(0) = (-1)\ldots(-1 - k + 1)(x + 1)^{-1-k} \right|_0 = (-1)(-1 -1)\ldots(-k) = (-1)^kk![/math]

[math]y = \ln(x + 1) = \sum\limits_{k = 1}^n (-1)^k\frac1k x^k + o(x^n)[/math]

y = (x + 1)^α

[math]y = (x + 1)^{\alpha}[/math]

[math]((x+1)^\alpha)^{(k)} = [(x + 1)^\alpha]^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - k + 1)(1 + x)^{\alpha - k}[/math]

[math]\left.((x+1)^\alpha)^{(k)}\right|_0 = \left.[(x + 1)^\alpha]^{(k)} = \alpha(\alpha - 1)\ldots(\alpha - k + 1)(1 + x)^{\alpha - k} \right|_0 = \binom{\alpha}k[/math]

[math](1 + x)^\alpha = 1 + \sum\limits_{k = 1}^n \binom{\alpha}k x^n + o(x^n)[/math]

y = sin x

[math]y = \sin x[/math]

[math]\sin x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac{1}{(2k+1)!} x^{2k+1} + o(x^{2n + 1})[/math]

y = cos x

[math]y = \cos x[/math]

[math]\cos x = \sum\limits_{k = 0}^n (-1)^k \frac1{(2k)!} x^{2k} + o(x^{2n})[/math]