Изменения

==Теорема о рекурсии==

|author=Клини|about=О о рекурсии/ ''Kleene's recursion theorem''|statement= Пусть <tex>UV(n, x)</tex> {{---}} [[Диагональный_методВычислимые функции|универсальная вычислимая функция]], . Тогда найдётся такая вычислимая <tex>hp</tex> {{---}} всюду определенная [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]]. Тогда найдется такое , что <tex>n\forall y:</tex>, что <tex>U_np(y) =U_{hV(np, y)}</tex>.

Начнем с доказательства леммыПриведем конструктивное доказательство теоремы. Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{{Утверждениеmain}</tex>: '''program int''' p('''int''' x): ... '''int''' main(): ... |id=st1 ...|statement= Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности Тогда вызов <tex>\equivmathrm{p(x)}</tex>. Тогда следущие два утверждения не могут быть выполнены одновременно: — вызов функции <tex>\mathrm{main}<br/tex>от соответствующего аргумента.* Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>fV(x,y)</tex> {{---}} вычислимая функция. Тогда существует всюду определенное вычислимое Будем поэтапно строить функцию <tex>\equivp(y)</tex> . <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{{---getSrc()}} продолжение </tex>, которая вернет код <tex>gp(y)</tex> функции . Тогда саму <tex>fp(y)</tex>можно переписать так: '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, т'''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): ..е. такая Теперь нужно определить функцию <tex>g\mathrm{getSrc()}</tex> . Предположим, что внутри <tex>Dp(gy)=N</tex> и мы можем определить функцию <tex>\forall xmathrm{getOtherSrc()}</tex> такого что , состоящую из одного оператора <tex>f(x) \ne \perpmathrm{return}</tex> выполнено , которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex>fперепишется так.  '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main() \equiv g: '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(x): <font color="green">/tex/ многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font>.* Найдется такая всюду определенная вычислимая <texnowiki>h|</texnowiki> что return $src``` '''string''' getOtherSrc(): ... Теперь <tex>\forall n mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>hp(ny) \not\equiv n</tex>:<code> '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|proof=</nowiki> return $src``` '''string''' getOtherSrc(): '''return''' ```function p(int y): <nowiki>|</nowiki> int V(string x, int y):От противного <nowiki>|</nowiki> .. Пусть оба утверждения выполнены. <nowiki>|<br/nowiki>Определим функцию <texnowiki>f|</texnowiki> так int main(): <nowiki>|<tex/nowiki>f return V(getSrc(x)=U(x,xy) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</texnowiki>. Заметим что никакая всюду вычислимая функция не отличается от string getSrc(): <texnowiki>f|</texnowiki> всюду. string src = getOtherSrc() <brnowiki> Согласно первому утверждению найдется всюду определенное вычислимое |<tex/nowiki> return \equiv```$src <nowiki>|</texnowiki> {{---}} продолжение <texnowiki>g|</texnowiki> функции string getOtherSrc(): <texnowiki>f|</texnowiki>. <brnowiki> Определим функцию |<tex/nowiki>t return \$src\```</texcode> так: }} Иначе говоря, если рассмотреть <tex>t(x)=h(gV(x), y)</tex>, где как программу, использующую <tex>hx</tex> {{---}} функция из второго утверждения. <br >Если в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>f(x) \ne \perpy</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>fp(xy)=gV(x) \ne h(g(x))=t(xp, y)</tex>, ткоторая будет использовать собственный исходный код.е Приведем так же альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.  ==Теорема о неподвижной точке==Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>f(x) \ne t(x)equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex>и докажем вспомогательную лемму. Если {{Определение|definition = Функция <tex>f(x)= \perpg</tex>, то называется '''<tex>f(x) \ne t(x)equiv</tex>, т.к. {{---}} продолжением (<tex>t\equiv</tex> {{---}} всюду определена. Значит continuation)''' функции <tex>f</tex> всюду отлична от , если для всех таких <tex>tx</tex>, противоречиечто <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.

Теперь определим отношение {{Лемма|statement= Для всякой вычислимой функции <tex>\equivf</tex> так: существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_yg</tex>. Покажем, что для него выполнено первое утверждение леммы. <br> Для заданной являющаяся ее <tex>f\equiv</tex> определим {{---}} продолжением.|proof= Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов <tex>V(n,x) = U(f(n), x)</tex>. <br> Так как <tex>UV</tex> {{---}} универсальная функция— вычислимая, то найдется такая существует вычислимая и всюду определенная вычислимая функция <tex>s(n)</tex>такая, что : <tex>V(n,x) = U(s(n), x)</tex>.  Покажем, что <brtex> Тогда s(n)</tex> будет являться <tex>\forall x, n equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>U(f(n), x) = U(s</tex>. Если <tex>f(n), x)</tex>определено, значит то <tex>\forall s(n )</tex> вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же <tex> s(n) \equiv f(n)</tex>не определено, то есть <tex>s(n)</tex> {{---}} всюду определенное вернет номер нигде не определенной функции.Таким образом, мы нашли <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение для произвольно взятой вычислимой функции <tex>f</tex>.Значит, для нашего отношения эквивалентности второе утверждение леммы не верно, то есть для любого вычислимого всюду определенного <tex>h</tex> <tex> \exists n</tex> такое что <tex>U_{h(n)} = U_n</tex>.

|author=Роджерс|about=О рекурсиио неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''|statement= Пусть <tex>V(nU</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, x)<tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента.Тогда найдется такая вычислимая такое <tex>pn</tex>, что <tex>\forall yU_n=U_{h(n)}</tex> , то есть <tex>pn</tex> и <tex>h(y) = V(p, yn)</tex>— номера одной функции.

Так как Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>Uh</tex> , такая, что <tex>U_n \neq U_{{---h(n)}} универсальная, то </tex> для любой вычислимой всюду определенной любого <tex>n</tex> найдется такая вычислимая всюду определенная . В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>numh</tex>, что не имеет <tex>n=U_{num(n)}\equiv</tex>{{---}} неподвижных точек. Тогда найдется такая  Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>hf(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>\forall g(n, x)</tex> , всюду отличная от <tex>Vf(n, x) = U(h(num(n)), xn)</tex>, то нарушается определение универсальной функции. ) Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <br tex>По доказанному найдется такое g(x)</tex>n_0, являющаяся </tex> что \equiv</tex>U_{n_0{---}} = U_{hпродолжением функции <tex>f(n_0x)}</tex>. <br> Возьмем Давайте зададим функцию <tex>p=U_{n_0}t(x)</tex>. Тогда следующим образом: <tex>Vt(p, x) = V(U_{n_0}, x) = U(h(numg(U_{n_0}x))</tex>, x) = U(где <tex>h(n_0x)</tex> — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x) = U</tex> всюду отличается от <tex>f(n_0, x) = p</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex>не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.

|statement= Язык <tex>L=\{p|\mid p(\epsilonvarepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.

Предположим обратное, тогда . Тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая , разрешающая <tex>L</tex>.Рассмотрим следущую следующую программу:<code> p(x): '''if ''' r(pgetSrc()) '''return ''' 1 '''while ''' ''true''</code>Пусть <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\epsilonvarepsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Противоречие.

==См. также==*[[Участник:Shersh/Теорема_о_рекурсии]] ==Источникиинформации==* [[wikipedia:Kleene's_recursion_theorem | Wikipedia {{---}} Kleene's recursion theorem]]* ''Верещагин Н. К. Верещагин, Шень А. Шень. '' '''Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. -- ''' — М.: МЦНМО, 1999- С. 176* ''Kleene, Stephen'' '''On notation for ordinal numbers''' - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155 [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Теория вычислимости]][[Категория:Разрешимые и перечислимые языки]]