Изменения

==Теорема о рекурсии==

|author=Клини|about=О о рекурсии/ ''Kleene's recursion theorem''|statement= Пусть <tex>V(n, x)</tex> {{---}} [[Вычислимые функции|вычислимая функция]]. Тогда найдётся такая вычислимая <tex>p</tex>, что <tex>\forall y:</tex> <tex>p(y) = V(p, y)</tex>.

Пусть Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть вычислимая функция <tex>V(x,y)</tex>. Определим <tex>p(y)\mathrm{main}</tex> так:<code><font size = "3em"> '''program int''' p(y'''int''' x){ : V(x,y) { ...}

'''int''' main() {: return V(getSrc(), y) } ...

...Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента. Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string '''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc() {}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так: '''program string src = getOtherSrc''' p('''string''' y);: return src + " '''string getOtherSrc''' V('''string''' x, '''string''' y) {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";: } ... '''string getOtherSrc''' main() {: '''return " ''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): ...Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{ getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</ Возвращаем tex>, которая вернет весь предыдущий предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.  '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x,'''string''' y) {: ...} '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font> <nowiki>|</nowiki> return $src```

main() { return V(getSrc(), y) } string getSrc() { '''string src = ''' getOtherSrc(); return "tmp + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}"; }"; } }:</font></code> ...

Заметим, что функция Теперь <tex>getSrc\mathrm{getOtherSrc()}</tex> возвращает код определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:<code> '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), поэтому y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <texnowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> return $src``` '''string''' getOtherSrc(): '''return''' ```function p(int y): <nowiki>|</texnowiki> int V(string x, int y): <nowiki>|</nowiki> удовлетворяет требованию ... <texnowiki>\forall y|</texnowiki> <nowiki> |<tex/nowiki>p int main(y) = : <nowiki>|</nowiki> return V(pgetSrc(), y) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> string getSrc(): <nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc() <nowiki>|</texnowiki> return \```$src <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>. return \$src\```<br/code>

Если говорить неформально Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии утверждаетпоказывает, что внутри программы можно мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать ее собственный исходный код. Это упрощает  Приведем так же альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство некоторых теорем.

Приведем так же альтернативую формулировку теоремы ==Теорема о неподвижной точке==Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и альтернативное докажем вспомогательную лемму.{{Определение|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (неконструктивное<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation) доказательство''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.}}{{Лемма|statement= Для всякой вычислимой функции <tex>f</tex> существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g</tex>, являющаяся ее <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением.|proof= Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов <tex> V(n, x) = U(f(n), x)</tex>. Так как <tex>V</tex> — вычислимая, то существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>s(n)</tex> такая, что: <tex>V(n, x) = U(s(n), x)</tex>.

|author=Роджерс|about=о рекурсиинеподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]]для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]]одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> — номера одной функции.

Начнём с доказательства леммы.Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>h</tex>, такая, что <tex>U_n \neq U_{{Лемма|statement= Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности h(n)}</tex> для любого <tex>\equivn</tex>. Тогда следующие два утверждения не могут быть выполнены одновременно: В терминах введенного нами отношения, это значит, что <brtex># Пусть h</tex> не имеет <tex>f\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек.  Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>f(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция<tex>g(n)</tex>, всюду отличная от <tex>f(n) = U(n, n)</tex>, то нарушается определение универсальной функции. Тогда ) Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определённое вычислимое определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение продолжением функции <tex>gf(x)</tex> функции . Давайте зададим функцию <tex>ft(x)</tex>, то есть такая следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, что где <tex>Dh(gx)=N</tex> и — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\forall xequiv</tex> такого, что {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>ft(x) \ne \perp</tex>, выполнено всюду отличается от <tex>f(x) \equiv g</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex>не имеет неподвижных точек.# Найдётся такая всюду определенная вычислимая ) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex>не существует.}}  {{Утверждение|id=идентификатор (необязательно), что пример: proposalF. |statement = <tex>\forall exists n : W_n = \{n \} </tex> выполнено , где <tex> W_n </tex> {{---}} множество слов, допускаемых программой с номером <tex>h(n) \not\equiv n</tex>.

Приведем доказательство от противногоПо [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Пусть оба утверждения выполнены. <br>Определим Значит, в неё можно написать функцию <tex>f</tex> так: <tex>f\mathrm{getSrc(x)=U(x,x)} </tex>. Заметим, что никакая всюду вычислимая функция не отличается от <tex>f</tex> всюду. <br> Согласно первому утверждению найдётся всюду определённое вычислимое <tex>\equiv</tex> которая вернёт строку {{---}} продолжение <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>исходный код программы. <br> Определим функцию <tex>t</tex> такНапишем такую программу:   <tex>tp(x)=h(g(x)q){:}</tex>, где '''if''' <tex>h</tex> {p.\mathrm{---}} функция из второго утверждения. <br >Если <tex>fgetSrc(x) \ne \perp}</tex>, то <tex>f(x)=g(x) \ne h(g(x))=t(x)</tex>, то есть <tex>f(x) \ne t(x)</tex>q. Если <tex>f(x)= \perp</tex>, то <tex>fmathrm{getSrc(x) \ne t(x)}</tex>, так как <tex>t</tex> всюду определена. Значит, <tex>f</tex> всюду отлична от <tex>t</tex>, получили противоречие.}} '''return''' 1 '''else''' '''while''' ''true'' Теперь определим отношение <tex>\equiv</tex> так: Программа <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_yp </tex>. Покажемзнает свой код, что для него выполнено первое утверждение леммы. <br> Для заданной <tex>f</tex> определим <tex>V(n,x) = U(f(n), x)</tex>. <br> Так как <tex>U</tex> {{---}} универсальная функция, то найдётся такая всюду определенная вычислимая функция <tex>s</tex>же самое, что <tex>V(n,x) = U(s(n), x)</tex>. <br> Тогда <tex>\forall x </tex> и <tex> n </tex> будет выполнено <tex>U(f(n), x) = U(s(n), x)</tex>знает свой номер. ЗначитКак видно из её кода, <tex>\forall n </tex> <tex> s(n) \equiv f(n)</tex>, то есть <tex>s</tex> она допускает только одно число {{---}} всюду определенное <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение <tex>f</tex>.Значит, для нашего отношения эквивалентности второе утверждение леммы не верно, то есть для любого вычислимого всюду определенного <tex>h</tex> <tex> \exists n</tex> такое, что <tex>U_{h(n)} = U_n</tex>свой номер.

==Пример использованиятеоремы о рекурсии в доказательстве неразрешимости языка==Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\{p|\mid p(\epsilonvarepsilon)=\perp\}</tex>.

|statement= Язык <tex>L=\{p|\mid p(\epsilonvarepsilon)=\perp\}</tex> неразрешим.

Предположим обратное, тогда . Тогда существует программа <tex>r</tex> разрещающая , разрешающая <tex>L</tex>.Рассмотрим следущую следующую программу:<code> p(x): '''if ''' r(pgetSrc()) '''return ''' 1 '''while ''' ''true''</code>Пусть <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Тогда условие <tex>r(p)</tex> выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=1</tex>. Противоречие. Если <tex>p(\epsilonvarepsilon) \ne \perp</tex>, то <tex>r(p)</tex> не выполняется и <tex>p(\epsilonvarepsilon)=\perp</tex>. Противоречие.

==См. также==*[[Участник:Shersh/Теорема_о_рекурсии]] ==Источникиинформации==* [[wikipedia:Kleene's_recursion_theorem | Wikipedia {{---}} Kleene's recursion theorem]]