Изменения

==Теорема о рекурсии==

|author=Клини|about=О о рекурсии/ ''Kleene's recursion theorem''|statement= Пусть <tex>UV(n, x)</tex> {{- --}} [[Диагональный_методВычислимые функции|универсальная вычислимая функция]], . Тогда найдётся такая вычислимая <tex>hp</tex> - всюду определенная [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]]. Тогда найдется такое , что <tex>n\forall y:</tex>, что <tex>U_np(y) =U_{hV(np, y)}</tex>.

Начнем с доказательства леммыПриведем конструктивное доказательство теоремы. Введем новые обозначения для псевдокода. Внутри блока '''program''' располагаются функции, среди которых есть функция <tex>\mathrm{main}</tex>: '''program int''' p('''int''' x): ... '''int''' main(): ... ...Тогда вызов <tex>\mathrm{p(x)}</tex> — вызов функции <tex>\mathrm{main}</tex> от соответствующего аргумента. Все входные данные далее можно интерпретировать как строки, поэтому все типы аргументов и возвращаемых значений будут иметь тип '''string'''. Пусть есть вычислимая <tex>V(x,y)</tex>. Будем поэтапно строить функцию <tex>p(y)</tex>. <br> Предположим, что у нас в распоряжении есть функция <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>, которая вернет код <tex>p(y)</tex>. Тогда саму <tex>p(y)</tex> можно переписать так: '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): ...Теперь нужно определить функцию <tex>\mathrm{getSrc()}</tex>. Предположим, что внутри <tex>p(y)</tex> мы можем определить функцию <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex>, состоящую из одного оператора <tex>\mathrm{return}</tex>, которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда <tex>p(y)</tex> перепишется так.  '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <font color="green">// символ $ перед названием переменной используется для подстановки значения этой переменной в строку</font> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <font color="green">// многострочные строки заключаются в ``` и используют <nowiki>|</nowiki> в качестве разделителя</font> <nowiki>|</nowiki> return $src``` '''string''' getOtherSrc(): ... Теперь <tex>\mathrm{getOtherSrc()}</tex> определяется очевидным образом, и мы получаем '''итоговую версию''' функции <tex>p(y)</tex>:<code> '''program string''' p('''string''' y): '''string''' V('''string''' x, '''string''' y): ... '''string''' main(): '''return''' V(getSrc(), y) '''string''' getSrc(): '''string''' src = getOtherSrc() '''return''' ```$src <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> return $src``` '''string''' getOtherSrc(): '''return''' ```function p(int y): <nowiki>|</nowiki> int V(string x, int y): <nowiki>|</nowiki> ... <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> int main(): <nowiki>|</nowiki> return V(getSrc(), y) <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> string getSrc(): <nowiki>|</nowiki> string src = getOtherSrc() <nowiki>|</nowiki> return \```$src <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki>string getOtherSrc(): <nowiki>|</nowiki> <nowiki>|</nowiki> return \$src\```</code>}} Иначе говоря, если рассмотреть <tex>V(x, y)</tex>, как программу, использующую <tex>x</tex> в качестве исходного кода и выполняющую действие над <tex>y</tex>, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу <tex>p(y) = V(p, y)</tex>, которая будет использовать собственный исходный код. Приведем так же альтернативную формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство. ==Теорема о неподвижной точке==Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: <tex>x \equiv y \Leftrightarrow U_x = U_y</tex> и докажем вспомогательную лемму.{{Определение|definition = Функция <tex>g</tex> называется '''<tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением (<tex>\equiv</tex> {{---}} continuation)''' функции <tex>f</tex>, если для всех таких <tex>x</tex>, что <tex>f(x)</tex> определено, <tex>g(x) \equiv f(x)</tex>.}}{{Лемма|statement= Для всякой вычислимой функции <tex>f</tex> существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g</tex>, являющаяся ее <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением.|proof= Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов <tex> V(n, x) = U(f(n), x)</tex>. Так как <tex>V</tex> — вычислимая, то существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>s(n)</tex> такая, что: <tex>V(n, x) = U(s(n), x)</tex>. Покажем, что <tex>s(n)</tex> будет являться <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(n)</tex>. Если <tex>f(n)</tex> определено, то <tex>s(n)</tex> вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же <tex>f(n)</tex> не определено, то <tex>s(n)</tex> вернет номер нигде не определенной функции.Таким образом, мы нашли <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжение для произвольно взятой вычислимой функции <tex>f</tex>.}}{{Теорема|id=th2|author=Роджерс|about=о неподвижной точке / ''Rogers' fixed-point theorem''|statement= Пусть <tex>U</tex> {{---}} [[Диагональный_метод|универсальная функция]] для класса вычислимых функций одного аргумента, <tex>h</tex> {{---}} всюду определённая [[Вычислимые_функции|вычислимая функция]] одного аргумента. Тогда найдется такое <tex>n</tex>, что <tex>U_n=U_{h(n)}</tex>, то есть <tex>n</tex> и <tex>h(n)</tex> — номера одной функции.|proof=Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция <tex>h</tex>, такая, что <tex>U_n \neq U_{h(n)}</tex> для любого <tex>n</tex>. В терминах введенного нами отношения, это значит, что <tex>h</tex> не имеет <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек.  Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например <tex>f(x) = U(x, x)</tex> (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция <tex>g(n)</tex>, всюду отличная от <tex>f(n) = U(n, n)</tex>, то нарушается определение универсальной функции.) Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция <tex>g(x)</tex>, являющаяся <tex>\equiv</tex> {{---}} продолжением функции <tex>f(x)</tex>. Давайте зададим функцию <tex>t(x)</tex> следующим образом: <tex>t(x) = h(g(x))</tex>, где <tex>h(x)</tex> — искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая <tex>\equiv</tex> {{---}} неподвижных точек. Тогда <tex>t(x)</tex> всюду отличается от <tex>f(x)</tex> (в силу того, что <tex>h(x)</tex> не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции <tex>h</tex> не существует.}}  

|id=st1идентификатор (необязательно), пример: proposalF. |statement= Пусть на натуральных числах задано отношение эквивалентности <tex>\equiv</tex>. Тогда следущие два утверждения не могут быть выполнены одновременноexists n : <br>* Пусть <tex>f</tex> - вычислимая функция. Тогда существует всюду определенное вычислимое <tex>\equiv</tex>-продолжение <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>, т.е. такая <tex>g</tex> что <tex>D(g)W_n =N</tex> и <tex>\forall x</tex> такого что <tex>f(x) \ne {n\perp} </tex> выполнено <tex>f(x) \equiv g(x)</tex> * Найдется такая всюду определенная вычислимая , где <tex>h</tex> что <tex>\forall n W_n </tex> {{---}} множество слов, допускаемых программой с номером <tex>h(n) \not\equiv n</tex>.

От противногоПо [[Теорема о рекурсии | теореме о рекурсии]], программа может знать свой исходный код. Пусть оба утверждения выполнены. <br>Определим Значит, в неё можно написать функцию <tex>f</tex> так: <tex>f\mathrm{getSrc(x)=U(x,x)} </tex>. Заметим что никакая всюду вычислимая функция не отличается от <tex>f</tex> всюду. <br> Согласно первому утверждению найдется всюду определенное вычислимое <tex>\equiv</tex>, которая вернёт строку {{---продолжение <tex>g</tex> функции <tex>f</tex>}} исходный код программы. <br> Определим функцию <tex>t</tex> такНапишем такую программу:   <tex>tp(x)=h(g(x)q){:}</tex>, где <tex>h '''if''' </tex> - функция из второго утвержденияp. <br >Если <tex>f\mathrm{getSrc(x) \ne \perp}</tex>, то <tex>f(x)=g(x) \ne h(g(x))=t(x)</tex>, тq.е. <tex>f(x) \ne tmathrm{getSrc(x)}</tex>. Если '''return''' 1 '''else''' '''while''' ''true'' Программа <tex>f(x)= \perpp </tex>знает свой код, что то <tex>f(x) \ne t(x)</tex>же самое, тчто и знает свой номер.к. <tex>t</tex> Как видно из её кода, она допускает только одно число {{--- всюду определена. Значит <tex>f</tex> всюду отлична от <tex>t</tex>, противоречие}} свой номер.

Теперь определим отношение ==Пример использования теоремы о рекурсии в доказательстве неразрешимости языка==Используя теорему о рекурсии, приведём простое доказательство неразрешимости языка <tex>L=\equiv</tex> так: <tex>x {p \equiv y mid p(\Leftrightarrow U_x varepsilon)= U_y\perp\}</tex>. Покажем, что для него выполнено первое утверждение леммы. <br> Для заданной {{Лемма|id=st2|statement= Язык <tex>f</tex> определим <tex>VL=\{p \mid p(n,x\varepsilon) = U(f(n), x)\perp\}</tex>неразрешим. <br> Так как |proof=Предположим обратное. Тогда существует программа <tex>Ur</tex> - универсальная функция, то найдется такая всюду определенная вычислимая разрешающая <tex>sL</tex>, что <tex>V.Рассмотрим следующую программу:  p(n,x) = U: '''if''' r(sgetSrc(n), x)</tex>. <br> Тогда '''return''' 1 '''while''' ''true'' Пусть <tex>p(\varepsilon)=\forall x, n perp</tex> . Тогда условие <tex>Ur(f(n), x) = U(s(n), xp)</tex>, значит выполняется и <tex>p(\forall n varepsilon)=1</tex> . Противоречие. Если <tex> sp(n\varepsilon) \equiv f(n)ne \perp</tex>, то есть <tex>sr(p)</tex> - всюду определенное <tex>\equiv</tex>-продолжение <tex>f</tex>.Значит, для нашего отношения эквивалентности второе утверждение леммы не верно, то есть для любого вычислимого всюду определенного <tex>h</tex> выполняется и <tex> p(\exists n</tex> такое что <tex>U_{h(nvarepsilon)} = U_n\perp</tex> . Противоречие.

==Источники==[[Категория: Теория формальных языков]]Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике [[Категория: Теория вычислимости]][[Категория:Разрешимые и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. -- М.: МЦНМО, 1999перечислимые языки]]