Изменения

Матрицу <tex>Q</tex> называют '''непоглощающей''' (англ. ''not-absorbing''), если она не содержит поглощающих состояний. То есть <tex>q_{ii} \neq 1, \forall i </tex>}} {{Определение|definition=Стохастическую матрицу с <tex>r</tex> [[Марковская цепь#Поглощающая цепь№цепь|поглощающими состояниями]] и <tex>t</tex> непоглощающими, можно перевести в '''каноническую форму'''(англ. ''canonical form''):

|statement=Если цепь поглощающая, то с вероятностью, равной <tex>1</tex>, она перейдет в [[Марковская цепь#Поглощающая цепь№|поглощающее состояние]].

Произведение единичной матрицы на саму себя есть единичная матрица (<tex>I \times I = I</tex>); <tex>X</tex> — некоторые значения (не важны для доказательства теоремы, т.к. так как чтобы доказать теорему достаточно доказать, что непоглощающие состояния стремятся к 0).

Продолжив вычисления, получим, что <tex>P^n</tex> имеет такой следующий вид: <tex>\begin{pmatrix}

Рассмотрим путь из <tex>i</tex>-го состояния в поглощающее, равное состояние <tex>j</tex>. Пусть мы совершили <tex>m</tex> шагов из состояния <tex>i</tex>p, тогда обозначим <1tex>p_{m}</tex> — вероятность тогопопасть в поглощающее состояние <tex>j</tex> за такое количество шагов. Заметим, что через <tex>m_ip_{m} < 1</tex>  Теперь обобщим в большую сторону для любого количества шагов из шага : пусть <tex>p = \max(p_{m})< 1</tex>. В таком случае <tex>ip</tex> не попадет — наибольшая вероятность попасть в поглощающее состояние<tex>j</tex>, совершив при этом не более чем <tex>m</tex> шагов.Пусть Тогда вероятность перехода в состояние <tex>j</tex> на шаге <tex>m</tex> равна <tex>p_{m } = \max(m_i)sum\limits_{j} {q^{m}_{ij}}</tex>, а где <tex>q_{ij}^{m}</tex>p = \max(p_i)— элемент матрицы < 1tex>Q^{m}</tex>.

Тогда получаем: В то же время, <tex>\sum_sum\limits_{j} {Qq^m_{ij}}\leqslant p</tex> потому что <tex>p_{m} \leqslant p, \forall m</tex> по условию обозначения <tex>p</tex>. Возведем обе части в степень <tex>k \rightarrow \Rightarrowinfty</tex> , получим: <tex>\sum_sum\limits_{j} {Qq^{mk}_{ij}}\leqslant p^k\xrightarrow{k\xrightarrow{}+\infty}0</tex>

В итоге получаем, что непоглощающие состояния стремятся к <tex>0</tex>, а значит поглощающие в итоге приходят к <tex>1</tex>, т.е. то есть цепь приходит в поглощающее состояние.