1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
rollbackEdits.php mass rollback
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
3. <tex>\forall \tau_1, \tau_2 : \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)</tex>
|proof=
Доказательство свойств сумм Лебега-Дарбу аналогично доказательству свойств Дарбу из первого семестра курса матанализа.[[Критерий существования определённого интеграла#Суммы Дарбу]]
{{TODO|t=Наверно, надо добавить их сюда.}}
}}
<tex>y_k = -M + \frac{2M}nk</tex>, <tex>k = 0..n</tex>
<tex>e_k = E(y_k \leq f(x) \leq < y_{k+1})</tex>. В силу измеримости <tex>f</tex>, эти множества измеримы.
<tex>-M \leq f(x)\leq M</tex>,
С другой стороны, <tex>f(x) = \begin{cases}0, & x \in \mathbb{Q}\\1, & x \notin \mathbb{Q}\end{cases}, f \notin \mathcal{R}(0; 1)</tex>
С другой стороны, она кусочно-постоянная на оси. <tex>\mathbb{Q}</tex>{{---}} измеримое по Лебегу, ибо счётно. Значит, <tex>f</tex>{{---}} измеримо на всей оси, а значит, и на <tex>[0; 1]</tex>. Тогда по доказанному доказанной выше(намного выше <tex>\smile</tex>) теореме, она интегрируема по Лебегу на <tex>[0; 1]</tex>. Однако, по Риману она не интегрируема. Выходит, на вещественной оси интеграл Лебега {{---}} распространение интеграла Римана.
[[Математический_анализ_2_курс|на главную <<]] [[Некоторые элементарные свойства интеграла Лебега|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
