Изменения

Будем рассматривать <tex> (X, \mathcal A, \mu) </tex>.Пусть <tex> E </tex> измеримо, <tex> p \ge 1 </tex>.

<tex> L_p(E ) = \subset {f </tex> - [[Определение измеримой функции|измерима]] на <tex> E, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty \mathcal A } </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p \ge 1 </tex>-ой степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f| </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.

<tex> L_p(E) = \{f </tex> - измерима на <tex> EПример, \int\limits_E {|f|}^p d \mu < + \infty \} </tex>, то есть пространство функций, суммируемых с <tex> p </tex>й степенью на <tex> E </tex>. Измеримость <tex> f </tex> на <tex> E </tex> принципиальна, так как в общем случае из измеримости <tex> |f|^p </tex> не вытекает измеримость <tex> f </tex>.  Видимо, примеркоторый подтверждает это:

<tex> f(x) = \begin{cases} 1, & x \in E \setminus E_1 \\ -1, & x \in E_1 \end{cases} </tex> — не измеримо измерима на <tex> E </tex>, так как ее множество Лебега <tex> E(f(x) \le -1) = E_1 </tex> - неизмеримо.

Но <tex> E(|f(x) \le -| = 1) = E_1 </tex> - нет {{TODO|t=что нет? o_O }}на <tex> E </tex> уже будет измеримой. Значит, из измеримости модуля не вытекает измеримость функции.

ПроверимОчевидно, что <tex> L_p|f + g|^p \le (E|f| + |g| ) ^p </tex> — измеримое множество.

Пусть <tex> \int\limits_E E_1 = E(|f|^p, \int\limits_E le |g|^p < + \infty ) </tex> — следует ли ,<tex> \int\limits_E E_2 = E(|\alpha f + \beta | > |g|^p ) </tex>,< + tex> E = E_1 \infty cup E_2 </tex>.

Достаточно(почему?) доказать, что Тогда <tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^p + \int\limits_{E_2} (2 |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + \infty </tex>.

2) Если <tex> \int \limits_E |f + g|^p < +\infty </tex>, то и <tex> \int \le ( limits_E |\alpha f| + ^p = |\alpha|^p \int \limits_E |gf| )^p < +\infty </tex>.

{{Теорема|statement=<tex> L_p(E ) </tex> с нормой, определенной как <tex> ||f||_p = E_1 \cup E_2 left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex>— [[Нормированные пространства|нормированное пространство]].|proof=

1) <tex> \int\limits_E |f + g|^p \le \int\limits_E (|f| + |g|)^p = _p \int\limits_{E_1} + \int\limits_{E_2} \le \int\limits_{E_1} (2 |g|)^ge 0</tex>, так как корень <tex>p + \int\limits_{E_2} (2 </tex>-ой степени; <tex> |f|)^p \le 2^p (\int\limits_{E_1} |f|^p + \int\limits_{E_2} |g|^p) < + _p = 0 \infty Leftrightarrow f = 0 </tex> — отождествление функции, что и требовалось доказатьсовпадают почти всюду.

Превратим Вспомним <tex> L_p{\left(E\sum (a_i + b_i) ^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} </tex> в нормированное пространство:— неравенство Минковского.

<tex> ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^{1/p} </tex> <tex> ||f||_p = 0 \Leftrightarrow f = 0 </tex> — отождествление функции, совпадают почти всюду. Свойства интеграла: <tex> ||\alpha f||_p = |\alpha| ||f||_p </tex>  <tex> ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p </tex>  <tex> {\left( \sum (a_i + b_i)^p \right)}^{1/p} \le {\left( \sum a_i^p \right)}^{1/p} + {\left( \sum b_i^p \right)}^{1/p} </tex> — Если мы получим аналогичное неравенство Минковского. Такое же неравенство можно написать для интеграла и получить нужноеинтегралов, то полуаддитивность будет доказана.

Так как <tex> \int\limits_E \frac{|f|^p}{||f||_p^p} </tex>(аналогично, <tex> g </tex> и <tex> q </tex>), равны 1, получаем:

<tex> \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q </tex> — неравенство Гёльдерадля интегралов.

<tex> \int\limits_E {(|f| + |g|)}^p = \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |f| + \int\limits_E {(|f| + |g|)}^{p-1} |g| \le </tex> <tex> \le {( \int\limits_E |f|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{WTF???(p-1)q} )}^{\frac1q} + {( \int\limits_E |g|^p )} ^{1/p} {( \int\limits_E (|f| + |g|)^{(p-1)q})}^{\frac1q}</tex>

Значит, <tex> ||\ cdot||_p </tex> — норма, <tex> L_p(E) </tex> — нормированное пространство, можно определить предел и т.д.

Примечание: должен был возникнуть При рассмотрении нормированных пространств одним из основных вопросов является вопрос их полноты — почему p \ge 1?верно ли, что

<tex> ||f_n - f_m||_p \xrightarrow[n,m \to \infty]{} 0 \intRightarrow f \limits_E |in L_p(E): f|^p d = \lim\limits_{n \mu < + to \infty при 0 < p } f_n < 1./tex>?

Так как<tex> ||f_n - f_m||_p \to le ||f_n - f \stackerl[def]{\Leftrightarrow} \int\limits_E |f_n |_p + ||f_m - f|^p d \mu \to 0|_p </tex>, то

L_p(E) тогда будет ТВП({{TODO|t=чё??}}), но не будет локально выпуклым, следовательно, не построим тривиальный линейный функционал<tex> f_n \to f \Rightarrow f_n - f_m \to 0 </tex> — получили сходимость в себе.

||f_n - f_m||_p \xrightarrowПусть <tex> E = [na,m \to \inftyb]{} 0 , \stackrel{?}{\Rightarrow} f \in L_p(lambda </tex> — мера Лебега на <tex> E): f = \lim\limits_{n \to \infty} f_n</tex>.

Обратное всегда верно:||f_n - f_m||_p <tex> \le ||f_n - f||_p ||f_m - int\limits_a^b f||_p(x) dx </tex> — интеграл Римана.

f_n Если взять <tex> \tilde{L_p}(a, b) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : \int\limits_a^b |f |^p dx < + \Rightarrow f_n - f_m infty \to 0 — сходимость в себе.} </tex>, то оно будет нормированным пространством, но не будет полным:

R = [aДаже если <tex> f_n \in \tilde{L_p}, \int\limits_a^b]|f_n - f_m|^p dx \to 0 </tex>, \lambda — мера Лебега на Eможет не найтись предела <tex> f_n </tex>.{{TODO|t=А ДОКАЗАТЬ???}}

Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функции, суммируемые по Лебегу. {{Теорема|about=о полноте|statement=<tex> L_p(E) </tex> — полное.|proof=По условию теоремы, <tex> \int\limits_alimits_E |f_n - f_m|^b f(x) dx — Риманp d \mu \to 0 </tex>.

<tex> E_{n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) </tex> — часть <tex> E </tex>, поэтому <tex> \int\limits_{[aE_{n, b]m}(\delta)} f d |f_n - f_m|^p \lambda — Лебегle \int\limits_E |f_n - f_m|^p </tex>.

<tex> \tildadelta^p \mu E_{L_pn, m}(a, b\delta) = \{ f: [a, b] \to \mathbb R : le \int\limits_a^b limits_E |ff_n - f_m|^p dx < + \infty to 0, \}delta </tex> — фиксирована.

Нормированное пространство, но оно не будет полнымТогда <tex> \mu E(|f_n - f_m| \ge \delta) \to 0 </tex>.

<tex> f_n - f_m \in \tilda{L_p}Rightarrow 0 </tex> при <tex> n, m \intto \limits_a^b |f_n - f_m|^p dx \to 0infty </tex>.

Может не найтись интеграла по Риману функцииПо лемме, которая будет пределом f_nперед теоремой Риса, утверждалось, что можно выделить <tex> f_{n_k} </tex>, почти везде сходящуюся к <tex> f </tex>. Именно поэтому потребовалось распространение интеграла Римана на функцииУстановим с помощью теоремы Фату, суммируемые по Лебегучто это — требуемая предельная функция <tex> f </tex> в <tex> L_p </tex> для <tex> E</tex>.

{{Теорема<tex> ||f_n - f_m|about=о полноте|statement=_p \to 0 </tex>, следовательно,<tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists N: \forall L_p(E) — полное.|proof=n,m > N: \int\limits_E |f_n - f_m|^p d \mu < \to 0 по условию теоремы.varepsilon^p </tex>

E_{Фиксируем <tex> \forall m > N </tex> и будем вместо n, m} (\delta) = E(|f_n(x) - f_m(x)| \ge \delta) — часть Eподставлять <tex> n_k > N </tex>.

\int\limits_{E_<tex> f_{n,mn_k}(\deltax)} |f_n - f_m|^p (x) \le \int\limits_E |f_n to f(x) - f_m|^p(x) </tex>

По теореме Фату: <tex> \deltaint\limits_E |f - f_m|^p \mu E_le \sup\limits_{n, mk: n_k > N} (\delta) \le \int\limits_E |f_n f_{n_k} - f_m|^p < \to 0, \delta — фиксирована.varepsilon^p </tex>

Тогда Итак, <tex> {\mu Eleft(\int\limits_E |f_n f - f_m| ^p \ge \deltaright) }^{1/p} < \to 0varepsilon </tex> при <tex> m > N </tex>.

f_n = f_Отсюда, <tex> f - f_m \to 0, n, m \to \inftyin L_p(E) </tex>.

По леммеНо <tex> f = (f - f_m) + f_m </tex> и, которая перед теоремой Рисапо линейности, утверждалось, что <tex> f \in L_p(E </tex>). Тогда неравенство можно выделить f_переписать: <tex> ||f_m - f||_p < \varepsilon \ \forall m > N </tex>. Тогда по определению <tex> f = \lim\limits_{n_k}, почти везде m \to f. Установим с помощью теоремы Фату\infty} f_m </tex>, что это — требуемая предельная функция f в L_p для E_nполнота доказана.

Фиксируем \forall m == Всюду плотность <tex> N и будем вместо n подставлять n_k C</tex> N.в <tex>L_p</tex> ==

f_{n_k}(x) - f_m(x) {Теорема|statement=Измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=По абсолютной непрерывности интеграла для любого <tex>\varepsilon</tex> существует <tex>\delta</tex> такое, что для <tex>A \subset E</tex> из <tex>\to mu A < \delta</tex> следует <tex>\left| \int\limits_A f(x) - f_m(x) ^p d\mu \right| < \varepsilon^p</tex>.

По теореме Фату: \int\limits_E Далее, рассмотрим множества <tex>A_n = E(|f - f_m|> n)</tex>. Очевидно, <tex>\bigcap\limits_{n = 1}^p \le infty A_n = \varnothing</tex> и <tex>A_{n + 1} \sumsubset A_n</tex>, следовательно, <tex>\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \mu A_n = 0</tex>. Значит, найдётся такое <tex>k: n_k </tex>, что <tex> N} \intmu A_k < \limits_E |f_{n_k} - f_m|^p delta</tex>. Положим <tex>g(x) = f(x)</tex>, если < tex>x \varepsilon^pnotin A_k</tex> и <tex>g(x) = 0</tex> иначе. Эта функция измерима и ограничена.

Итак, {Тогда <tex>\|f - g\|^p = \left(| \int\limits_E (f - g)^p d\mu \right| = \left|\int\limits_{E(f \neq g)} (f - f_m|g)^p \right| = \left| \int\limits_{E(f \neq g)}f^{1p \right| < \varepsilon^p</p} tex>, то есть, <tex>\|f - g\| < \varepsilon</tex>. Значит, m измеримые ограниченные функции образуют всюду плотное множество в <tex> NL_p</tex>.}}

Отсюда{{Теорема|statement=Непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex>|proof=Пусть <tex>f \in L_p</tex>, подберём ограниченную <tex>g</tex>, такую, что <tex>\|f - f_m g\| < \varepsilon / 2</tex>. Пусть <tex>|g| \le K</tex>. По теореме Лузина существует такая непрерывная функция <tex>\varphi</tex>, что <tex>\mu E(\varphi \neq g) < \frac{\varepsilon^p}{(4K)^p}</tex> и <tex>|\varphi| \le K</tex>. Тогда <tex>\|\varphi - g\|^p = \int\limits_E (\varphi - g)^p d\mu = \int\limits_{E(\varphi \neq g)} (\varphi - g)^p \in L_ple (2K)^p \cdot \mu E(\varphi \neq g) < (\varepsilon / 2)^p</tex>, то есть <tex>\|\varphi - g\| < \varepsilon / 2</tex>.

f = (По неравенству треугольника, <tex>\|f - f_m) + f_m и по линейности f \in L_p(E). Тогда неравенство можно переписать: ||f_m - f|varphi\|_p < \varepsilon \forall m </tex>, следовательно, непрерывные функции образуют всюду плотное множество в <tex>L_p</tex> N. Тогда по определению f = \lim\limits_{m \to \infty}} f_m, полнота доказана.

Примечание[[Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега|<<]][[Мера подграфика|>>]][[Категория: на этапе выделения f_{n_k} \to f — измеримая может получиться, что f — не интегрируема по Риману.Математический анализ 2 курс]]