Изменения

<tex>\Sigma_{i} = \{L\bigm|\exists R(x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p </tex> {{- --}} <tex>poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{2} \exists y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\},</tex><br/>где <tex>L</tex> - — формальный язык <tex>,Q = \exists</tex> для <tex>i = 2k-1,</tex> <tex>Q = \forall</tex> для <tex>i = 2k</tex>.

<tex>\Pi_{i} = \{L\bigm|\exists R(x, y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p </tex> {{- --}} <tex>poly : \forall x \in L \Leftrightarrow \forall y_{1} \exists y_{2} \forall y_{3} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_{j}|~\le~p(|x|), R(x, y_{1}, \cdots, y_{i}) \},</tex><br/>где <tex>L</tex> - — формальный язык <tex>,Q = \forall</tex> для <tex>i = 2k - 1,</tex> <tex>Q = \exists</tex> для <tex>i = 2k</tex>.

==Взаимоотношения Соотношения между классами <tex>\Sigma_{i}</tex> Σ и <tex>\Pi_{i}</tex>Π ==

|statement = <tex>\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.|proof = Пусть <tex>\left]L \in \Sigma_{i} \Rightarrow \exists R : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R(x,y_{1},\cdots,y_{i}), \forall j |y_{j}| \right.le poly(|x|)</tex>.<br/>Проверим, что <tex>? L \in \Sigma_{i+1} \Leftrightarrow \exists R' : x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \cdots Q y_{i} \bar{Q} y_{i+1} : R'(x,y_{1},\cdots,y_{i},y_{i+1})</tex>.

return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>;

Проверим, что <tex>? L \in \Pi_{i+1} \Leftrightarrow \exists R'' : x \in L \Leftrightarrow \forall y_{0} \exists y_{1} \cdots Q y_{i} : R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_{i})</tex>.

return <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})</tex>;

Т.о.Таким образом, <tex>\Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1}, \Sigma_{i} \subset \Pi_{i+1} \Rightarrow \Sigma_{i} \subset \Sigma_{i+1} \cap \Pi_{i+1}</tex>.

|statement = <tex>\Pi_Sigma_{i} = \subset \Sigma_mathrm{i+1} \cap co\Pi_{i+1}}</tex>.|proof = <tex>\left]L \in mathrm{co\Pi_{i} } = \{L \Rightarrow bigm| \exists R (x,y_{1},\cdots,y_{i}) \in \mathrm{P}, p</tex> {{---}} <tex>poly: x \in L \Leftrightarrow \exists y_{1} \forall y_{12} \cdots Q y_{i} : \forall j |y_j|~\le~p(|x|), R(x,y_{1},\cdots,y_{i})\right}.</tex><br/>Из самого выражения для <tex>? L \in mathrm{co\Pi_{i+1} }</tex> очевидно равенство.}} == Пример Σ и Π-полных задач =={{Определение|definition = Задачей <tex>\mathrm{QBF^{\Leftrightarrow Sigma}_{k}}</tex> называется объединение удовлетворимых булевых формул с <tex>k</tex> изменениями кванторов, где первым квантором является <tex>\exists R' : x </tex>.<br/><tex>\mathrm{QBF^{\Sigma}_{k}} = \{\in L phi \Leftrightarrow bigm| \forall y_exists X_{1} \cdots Q y_forall X_{i2} \bar{Q} y_exists X_{i+13} \cdots : R'\phi(x,y_X_{1},\cdots,y_X_{ik})\}</tex>,y_<br/>где <tex>X_{i+1})</tex>{{---}} попарно непересекающиеся множества аргументов <tex>\phi<br/tex>. }}<tex>\mathrm{QBF^{\Sigma}_{k}}</tex>R'(x,y_{1{---}},<tex>\mathrm{\cdots,y_Sigma_{i+1k}})</tex> -полная задача (доказательство аналогично доказательству [[Теорема Бермана — Форчуна|coNP-полноты TAUT]]). {{Определение return |definition = Задачей <tex>R(x,y_\mathrm{QBF^{\Pi}_{1k}}</tex> называется объединение удовлетворимых булевых формул с <tex>k</tex> изменениями кванторов,где первым квантором является <tex>\cdots,y_{i})forall</tex> }.<br/><tex>? L \in mathrm{QBF^{\Sigma_Pi}_{i+1k}} = \Leftrightarrow {\exists R'' : x phi \in L bigm| \Leftrightarrow forall X_{1} \exists y_X_{02} \forall y_X_{13} \cdots Q y_{i} : R''\phi(x,y_{0},y_X_{1},\cdots,y_X_{ik})\}</tex>,<br/> где <tex>R''(x,y_{0},y_{1},\cdots,y_X_{i})</tex> { return {---}} попарно непересекающиеся множества аргументов <tex>R(x,y_{1},\cdots,y_{i})phi</tex>. }}Т.о.Аналогично предыдущей, <tex>\Pi_mathrm{QBF^{\Pi}_{k}}</tex> {{i---}} <tex>\subset \Sigma_mathrm{i+1}, \Pi_{ik}} </tex>-полная задача. == Класс PH =={{Определение|definition =<tex>\subset \Pi_mathrm{i+1PH} = {\Rightarrow bigcup \Pi_atop {i} \subset in \Sigma_mathbb{i+1N}}} \cap \Pi_Sigma_{i+1}</tex>.<br/>

|statement = <tex>\Sigma_mathrm{iPH} = co\Pi_subset \mathrm{iPS}</tex>.|proof = Пусть <tex>coL \in \Pi_Sigma_{i} = \{L|Rightarrow \exists R(: x,\in L \Leftrightarrow \exists y_{1},\cdots,Q y_{i}) \in P, p - poly: R(x \in L \Leftrightarrow \exists ,y_{1} \forall y_{2} ,\cdots Q ,y_{i} : ), \forall j |y_jy_{j}|~\le~ppoly(|x|)</tex>.<br/>То есть, R(x,для перебора всех возможных значений <tex>y_{1j}</tex> потребуется не более,чем <tex>i \cdotscdot poly(|x|)</tex> памяти. Заметим,y_{что <tex>i}\cdot poly(|x|)</tex> тоже полином.Таким образом, для любого формального языка из <tex>\mathrm{PH}</tex>существует программа, разрешающая его на полиномиальной памяти. То есть, любой формальный язык из <tex>\mathrm{PH}<br/tex>Из самого выражения для принадлежит <tex>co\Pi_mathrm{iPS}</tex> очевидно равенство.