1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}} Гиперобъем является индикатором Парето -фронта, набирающим в последнее время популярность<ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2009GECCO.pdf Friedrich T., Horoba C., Neumann F. — Multiplicative Approximations and the Hypervolume Indicator (2009)]</ref><ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2010GECCO_Hyp.pdf Friedrich T., Bringmann K. — The Maximum Hypervolume Set Yields Near-optimal Approximation (2010)]</ref>.Важной составляющей многих оптимизирующих алгоритмов, использующих индикатор гиперобъема, является вычислениевклада одного элемента Парето -фронта. К сожалению, даже вычисление минимального вклада (Minimal Contribution, MINCON) и нахождениесоответсвующего соответствующего ему элемента (Least Contributor, LC) являются трудными задачами. Более того, даже аппроксимации этих задачявляются NP-трудными<ref>[http://www.mpi-inf.mpg.de/~tfried/paper/2009EMO.pdf Bringmann K., Friedrich T. Approximating the least hypervolume contributor: NP-hard in general, but fast in practice (2009)]</ref>.
== Источники ==# Bringmann K., Friedrich T. Approximating the least hypervolume contributor: NP-hard in general, but fast in practice (2009)<references />
rollbackEdits.php mass rollback
== Используемые обозначения ==
<tex>\mathrm{CON}(M, x) := \mathrm{HYP}(M) - \mathrm{HYP}(M \setminus x)</tex> – вклад элемента <tex>x \in M</tex> в гиперобъем.
<tex>\mathrm{MINCON}(M) := \min \limits_{x \in M} \mathrm{CON}(M, x)</tex> – минимальный вклад в гиперобъем множества. Задача MINCON – задача нахождения <tex>\mathrm{MINCON}(M)</tex>.
<tex>\mathrm{LC}(M) := \mathrm{argmin}_{x \in M} \mathrm{CON}(M, x)</tex> – least contributor, минимальный вкладчик, элемент, имеющей минимальный вклад в гиперобъем. Задача LC – задача нахождения <tex>\mathrm{LC}(M)</tex>.
<tex>\varepsilon\text{-}\mathrm{LC}(M)</tex> – элемент, имеющий вклад, отличающийся от минимального не более, чем в <tex>1 + \varepsilon</tex> раз, то есть
<tex>\mathrm{CON}(M, \varepsilon\text{-}\mathrm{LC}(M)) \le (1 + \varepsilon)\mathrm{MINCON}(M)</tex>. Задача <tex>\varepsilon</tex>-LC – задача нахождения <tex>\varepsilon\text{-}\mathrm{LC}(M)</tex>. Все числа, за исключением <tex>\varepsilon</tex>, будем считать целыми.
== Сложность задачи MINCON ==
|definition=
Задача #MON-CNF – задача нахождения числа удовлетворяющих подстановок для монотонной булевой формулыфункции, записанной в КНФ, <tex>f = \bigwedge \limits_{k=1}^n \bigvee \limits_{i \in C_k} x_i</tex>,
где клозы <tex> C_k \subseteq {\{1,...,d\}}</tex>.
За <tex>\Box(a_1, \ldots, a_d)</tex> будем обозначать прямоугольный гиперпараллелепипед <tex>[0, a_1] \times \ldots \times [0, a_d]</tex>.
Пусть <tex>f = \bigwedge \limits_{k=1}^n \bigvee \limits_{i \in C_k} x_i</tex> – монотонная булева формула функция в КНФ, <tex> C_k \subseteq {\{1,...,d\}}</tex>.
Построим параллелепипеды <tex>A_k = \Box(a_1^k, \ldots, a_d^k, 2^d + 2) \subseteq \mathbb{R}^{d+1}</tex> для каждого клоза формулы, при этом
другим, то есть <tex>C_i \nsubseteq C_j</tex> для любых <tex>i \neq j</tex>.
Для каждого <tex>A_k</tex> существуют такие <tex>x_i = a_i^k - 1</tex>, что область <tex>[x_1, x_1 + 1] \times \ldots \times [x_d, x_d + 1] \times [1, 2^d + 2]</tex> уникально покрывается только
элементом <tex>A_k</tex>, что означается, что <tex>\mathrm{CON}(M, A_k) > 2^d</tex> для любого <tex>k</tex>. Так как объем <tex>B</tex> составляется составляет лишь <tex>2^d</tex>, то
именно <tex>B</tex> будет являться минимальным вкладчиком.
|proof=
Для докозательства доказательства этой теоремы сведем задачу MINCON к задаче <tex>\varepsilon</tex>-LC. Не умаляя общности, будем считать, что <tex>d \ge 2</tex>, так как для
<tex>d = 1</tex> задача становится тривиальной. Также будем считать, что <tex>\mathrm{MINCON}(M) > 0</tex>.
<tex>M_{\lambda} = A \cup \{B\} \cup \{ C_{\lambda} \}</tex>.
Исходные элементы были сдвинуты вдоль первой оси, поэтому вклад этих элементов не изминилсяизменился, так как добавленная часть покрывается новым элементом <tex>B</tex>.
Также отметим, что вклад каждого из элементов множества <tex>A</tex> не превышает <tex>V</tex>.
Элемент <tex>B</tex> единственный, кто покрывает область <tex>[V, 2V] \times \ldots \times [V, 2V]</tex>, объем которой превышает <tex>V</tex>. Единственным кандидатом на
должность минимального вкладчика, не присутствовавшего в начальном множестве <tex>M</tex>, является элемент <tex>C_{\lambda}</tex>. Его вклад в точности соответствуем соответствует области
<tex>[0, 1] \times \ldots \times [0, 1] \times [2V, 2V + \lambda]</tex>, объем которой равен <tex>\lambda</tex>.
Таким образом, элемент <tex>C_{\lambda}</tex> является минимальным вкладчиком только, если при условии <tex>\lambda \le \mathrm{MINCON}(M)</tex>.
Так как умея решать задачу LC, мы можем проверять, является ли <tex>C_{\lambda}</tex> минимальным вкладчиком, можно
устроить двоичный поиск по велечине величине <tex>\lambda</tex>, чтобы найти <tex>\mathrm{MINCON}(M)</tex>, что
потребует <tex>O(\log(V))</tex> шагов. Однако в случае <tex>\varepsilon</tex>-LC запросов
обычный двоичный поиcк осуществить не удается. Несмотря на появившуюся неточность, продолжим выполнять
Вне этого интервала результат запроса всегда верен.
Используя такой двоичный поиск, мы получим число <tex>\kappa</tex>, которое или попадает в указанный интервал, и тогда задача решена, или является
максимальным целым числом , меньшим <tex>\log_2 \left((1 + \varepsilon)^{-1}\mathrm{MINCON}(M)\right)</tex>.
Таким образом, <tex>\lambda = 2^{\kappa} \ge \mathrm{MINCON}(M) / (2(1 + \varepsilon))</tex>, то есть была получена <tex>2(1 + \varepsilon)</tex> аппроксимация задачи MINCON.
}}
