Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Задача о рюкзаке

2115 байт добавлено, 19:19, 4 сентября 2022
м
rollbackEdits.php mass rollback
{{Задача|definition ='''Задача о рюкзаке'''(''англ. Knapsack problem'') — дано <tex>N</tex> предметов, <tex>n_i</tex> предмет имеет массу <tex> w_i > 0</tex> и стоимость <tex> p_i > 0</tex>. Необходимо выбрать из этих предметов такой набор, чтобы суммарная масса не превосходила заданной величины <tex>W</tex> (вместимость рюкзака), а суммарная стоимость была максимальна.}}
== Формулировка задачи ==
Дано <tex>N</tex> предметов, <tex>W</tex> - вместимость рюкзака, <tex>w=\{w_{1},w_{2},...\dots,w_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых весов, <tex>p=\{p_{1},p_{2},...\dots,p_{N}\}</tex> — соответствующий ему набор положительных целых стоимостей. Нужно найти набор бинарных величин <tex>B=\{b_{1},b_{2},...\dots,b_{N}\}</tex>, где <tex>b_{i} = 1 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> включен в набор, <tex> b_{i} = 0 </tex>, если предмет <tex>n_i</tex> не включен, и такой что:
#<tex>b_{1} w_{1}+ ... \dots + b_{N} w_{N} \le leqslant W</tex>#<tex>b_{1} p_{1}+ ... \dots + b_{N} p_{N} </tex> максимальна.
== Варианты решения ==
* Перебирать все подмножества набора из N предметов. Сложность такого решения <tex>O({2^{N}})</tex>.
* Методом [[Meet-in-the-middle|Meet-in-the-middle]]. Сложность решения <tex> O({2^{N/2}}\times{N}) </tex>
* Метод динамического программирования. Сложность — <tex>O(N \times WNW)</tex>.
== Метод динамического программирования ==
Пусть <tex>A(k, s)</tex> есть максимальная стоимости стоимость предметов, которые можно уложить в рюкзак вместимости <tex>s</tex>, если можно использовать только первые <tex>k</tex> предметов, то есть <tex>\{n_1,n_2,...\dots,n_k\}</tex>, назовем этот набор допустимых предметов для <tex>A(k,s)</tex>.
<tex>A(k, 0) = 0</tex>
Найдем <tex>A(k, s)</tex>. Возможны 2 варианта:
#Если предмет <tex>k</tex> не попал в рюкзак. Тогда <tex>A(k, s)</tex> равно максимальной стоимости рюкзака с такой же вместимостью и набором допустимых предметов <tex>\{n_1,n_2,...\dots,n_{k-1}\}</tex>, то есть <tex>A(k,s) = A(k-1, s)</tex># Если <tex>k</tex> попал в рюкзак. Тогда <tex>A(k, s)</tex> равно максимальной стоимости рюкзака, где вес <tex>s</tex> уменьшаем на вес <tex>k</tex> -ого предмета и набор допустимых предметов <tex>\{n_1,n_2,...\dots,n_{k-1}\}</tex> плюс стоимость <tex>k</tex>, то есть <tex>A(k-1, s-w_k) + p_k</tex> <tex>A(k, s) =\begin{cases} A(k-1, s), & b_k = 0 \\ A(k-1, s-w_k) + p_k, & b_k = 1 \\\end{cases}</tex>
То есть:
<tex>A(k,s) = \max(A(k-1,s), A(k-1,s-w_{k}) + p_{k})</tex>
Стоимость искомого набора равна <tex>A(N,W)</tex>, так как нужно найти максимальную стоимость рюкзака, где все предметы допустимы и вместимость рюкзака <tex>W</tex>.
Будем определять, входит ли <tex>n_i</tex> предмет в искомый набор. Начинаем с элемента <tex>A(i,w)</tex>, где <tex>i = N</tex>, <tex>w = W</tex>. Для этого сравниваем <tex>A(i,w)</tex> со следующими значениями:
#Максимальная стоимость рюкзака с такой же вместимостью и набором допустимых предметов <tex>\{n_1,n_2,...\dots,n_{i-1}\}</tex>, то есть <tex>A(i-1, w)</tex>#Максимальная стоимость рюкзака с вместимостью на <tex>w_i</tex> меньше и набором допустимых предметов <tex>\{n_1,n_2,...\dots,n_{i-1}\}</tex> плюс стоимость <tex>p_i</tex>, то есть <tex>A(i-1, w-w_i)+p_i</tex>
Заметим, что при построении <tex>A</tex> мы выбирали максимум из этих значений и записывали в <tex>A(i, w)</tex>. Тогда будем сравнивать <tex>A(i, w)</tex> c <tex>A(i-1, w)</tex>, если равны, тогда <tex>n_i</tex> не входит в искомый набор, иначе входит.
 
Метод динамического программирование всё равно не позволяет решать задачу за полиномиальное время, потому что его сложность зависит от максимального веса. Задача о ранце (или задача о рюкзаке) — одна из [[Класс NP|NP-полных]] задач комбинаторной оптимизации.
== Реализация ==
Сначала генерируем <tex>A</tex>.
'''for ''' i = 0..W'''to''' w A[0][i] = 0; '''for ''' i = 0..N'''to''' n A[i][0] = 0; ''<font color="green">//Первые элементы приравниваем к 0</font>'' '''for ''' k = 1..N '''to''' n '''for ''' s = 1..W '''to''' w ''<font color="green">//Перебираем для каждого k все вместимости </font>'' '''if ''' s >= w[k] ''<font color="green">//Если текущий предмет вмещается в рюкзак</font>'' A[k][s] = max(A[k-1][s], A[k-1][s-w[k]]+p[k]); ''<font color="green">//выбираем Выбираем класть его или нет</font>'' '''else ''' A[k][s] = A[k-1][s]; ''<font color="green">//иначеИначе, не кладем</font>''
Затем найдем набор <tex>ans</tex> предметов, входящих в рюкзак, рекурсивной функцией:
'''function''' findAns('''int''' k, '''int''' s) '''if ''' A[k][s] == 0 '''return;''' '''if ''' A[k-1][s] == A[k][s] findAns(k-1, s); '''else ''' findAns(k-1, s - w[k]); ans.push(k);
Сложность алгоритма <tex>O(N \times WNW)</tex>
== Пример ==
<tex>w_{5} = 9, p_{5} = 6 </tex>
[[Файл{|border="1" class="wikitable" style="text-align:Knapsack problem0.png]]center" width="75%"|-! || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 |-| k = 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 |-| k = 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 |-| k = 2 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 |-| k = 3 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 11 || 11 |-| k = 4 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 13 || 13 |-| k = 5 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 13 || 13 |}
Числа от 0 до 13 в первой строчке обозначают вместимость рюкзака.
В первой строке как только вместимость рюкзака <tex>n \ge geqslant 3</tex>, добавляем в рюкзак 1 предмет.
Рассмотрим <tex>k = 3</tex>, при каждом <tex>s \ge geqslant 5 (</tex>так как <tex>w_3 = 5)</tex> сравниваем <tex>A[k-1][s]</tex> и <tex>A[k-1][s-w_3]+p_3</tex> и записываем в <tex>A[k][s]</tex> стоимость либо рюкзака без третьего предмета, но с таким же весом, либо с третьим предметом, тогда стоимость равна стоимости третьего предмета плюс стоимость рюкзака с вместимостью на <tex>w_3</tex> меньше.
Максимальная стоимость рюкзака находится в <tex>A(5, 13)</tex>.
'''Восстановление набора предметов, из которых состоит максимально дорогой рюкзак.'''
Начиная с <tex>A(5, 13)</tex> восстанавливаем ответ.Будем идти в обратном порядке по <tex>k</tex>. ''<font color="000000">Красным фоном обозначим наш путь</font>''
[[Файл{|border="1" class="wikitable" style="text-align:Задача о рюкзаке3.png]]center" width="75%"|-! || 1 || 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8 || 9 || 10 || 11 || 12 || 13 |-| k = 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 |-| k = 1 || 0 ||style="background:#FF0000"| 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 |-| k = 2 || 0 || 0 || 1 || 6 ||style="background:#FF0000"| 6 || 6 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 || 7 |-| k = 3 || 0 || 0 || 1 || 6 ||style="background:#FF0000"| 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 11 || 11 |-| k = 4 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 13 ||style="background:#FF0000"| 13 |-| k = 5 || 0 || 0 || 1 || 6 || 6 || 6 || 7 || 7 || 10 || 10 || 10 || 13 ||style="background:#FF0000"| 13 |}
Таким образом, в набор входит <tex>2</tex> и <tex>4</tex> предмет.
Стоимость рюкзака : <tex>= 6 + 7 = 13</tex>
Вес рюкзака : <tex>= 4 + 8 = 12</tex>
=Другие задачи семейства=
==Ограниченный рюкзак =={{Задача|definition ='''Ограниченный рюкзак''' (англ. ''Bounded Knapsack Problem'') - обобщение классической задачи, когда любой предмет может быть взят некоторое количество раз.}} 
'''Пример:''' Вор грабит склад. Он может унести ограниченный вес, каждый товар на складе содержится в определенном ограниченном количестве. Нужно унести предметов на максимальную сумму.
===Формулировка Задачи===
Каждый предмет может быть выбран ограниченное <tex>b_i</tex> число раз.
* максимизировать общую стоимость: <tex>\sum_{i=1}^N p_ix_i</tex>;
* выполнялось условие совместности: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i \le leqslant W</tex>;
где <tex> x_i \in (0,1,...\dots,b_i)</tex> для всех <tex> i= 1,2,...\dots,N</tex>.
===Варианты решения===
Тогда меняя i от 1 до <tex>N</tex>, рассчитаем на каждом шаге <tex>d(i,c)</tex>, для <tex>c</tex> от 1 до <tex>W</tex>, по рекуррентной формуле:
<tex>d(i,c) = \max(d(i, c), d(i - 1, c - lw_i) + lp_i) </tex> по всем целым <tex> l </tex> из промежутка <tex> 0 \le leqslant l \le leqslant min(b_i,\lfloor c/w_i \rfloor)</tex>.
Если не нужно восстанавливать ответ, то можно использовать одномерный массив <tex>d(c)</tex> вместо двумерного.
=== Реализация ===
'''for ''' i = 0..W '''to''' w ''<font color="green">//База</ базаfont>'' d[0][i] = 0; '''for ''' i = 1..N '''to''' n '''for ''' c = 1..W '''to''' w ''<font color="green">//Перебираем для каждого i, все вместимости </font>'' d[i][c] = d[i - 1][c]; '''for ''' l = min(b[i], c / w[i]) .. '''downto''' 1 ''<font color="green">// ищем Ищем l для которого выполняется максимум</font>'' d[i][c] = max(d[i][c], d[i - 1][c - l * w[i]] + p[i] * l);
Сложность алгоритма <tex>O(NW^2)</tex>.
 
==Неограниченный рюкзак==
{{Задача|definition ='''Неограниченный рюкзак''' (англ.''Unbounded Knapsack Problem'') - обобщение ограниченного рюкзака, в котором любой предмет может быть выбран любое количество раз.}}
'''Пример:''' Перекупщик закупается на оптовой базе. Он может увезти ограниченное количество товара, количество товара каждого типа на базе не ограниченно. Нужно увезти товар на максимальную сумму.
===Формулировка Задачи===
Каждый предмет может быть выбран любое число раз.
*максимизировать общую стоимость: <tex>\sum_{i=1}^N p_ix_i</tex>;
*выполнялось условие совместности: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i \le leqslant W</tex>;
где <tex> x_i \ge geqslant 0 </tex> целое, для всех <tex> i= 1,2,...\dots,N</tex>.
===Варианты решения===
===Метод динамического программирования===
Пусть <tex>d(i,c)</tex> - максимальная стоимость любого количества вещей типов от 1 до <tex>i</tex>, суммарным весом до <tex>c</tex> включительно.
Заполним <tex>d(0,c)</tex> нулями.
d(i,c) =
\begin{cases}
d(i - 1, c) & for\ c = 0, ...\dots, w_i - 1; \\ \max(d(i - 1, c), d(i, c - w_i) + p_i) & for\ c = w_i, ...\dots, W;
\end{cases}
</tex>
Если не нужно восстанавливать ответ, то можно использовать одномерный массив <tex>d(c)</tex> вместо двумерного и использовать формулу:
<tex> d(c) = \max(d(c), d(c - w_i) + p_i) </tex>;
Сложность алгоритма <tex>O(NW)</tex>.
==Непрерывный рюкзак==
{{Задача|definition ='''Непрерывный рюкзак''' (англ. ''Continuous knapsack problem'') - вариант задачи, в котором возможно брать любою любую дробную часть от предмета, при этом удельная стоимость сохраняется.}}
'''Пример:''' Вор грабит мясника. Суммарно он может унести ограниченный вес товаров. Вор может резать товары без ущерба к удельной стоимости. Нужно унести товара на максимальную сумму.
===Формулировка Задачи===
Задача выбрать часть <tex>x_i</tex> каждого предмета так, чтобы
*максимизировать общую стоимость: <tex>\sum_{i=1}^N p_ix_i</tex>;
*выполнялось условие совместности: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i \le leqslant W</tex>;
где <tex> 0 \le leqslant x_i \le leqslant 1</tex> дробное, для всех <tex> i= 1,2,...\dots,N</tex>.
===Варианты решения===
=== Реализация ===
sort(); ''<font color="green">// сортируем Сортируем в порядке убывания удельной стоимости.</font>''  '''for ''' i = 1..N '''to''' n ''<font color="green">// идем Идем по предметам </font>'' '''if W ''' w >= w[i] ''<font color="green">//если Если помещается - берем</font>'' sum += p[i]; W w -= w[i]; '''else''' sum += W w / w[i] * p[i]; ''<font color="green">// иначе Иначе берем сколько можно и выходим</font>'' '''break;'''
==Задача о суммах подмножеств==
{{Задача|definition ='''Задача о суммах подмножеств''' (англ. ''Subset-sum problem, Value Independent Knapsack Problem'') - задача из семейства, в которой стоимость предмета совпадает с его весом.}}
'''Пример:''' Машина может увезти определенное количество груза. Нужно увезти как можно больше крупного неделимого мусора за раз.
===Формулировка Задачи===
Нужно выбрать подмножество так, чтобы сумма ближе всего к <tex>W</tex>, но не превысила его. Формально, нужно найти набор бинарных величин <tex>x_i</tex>, так чтобы
*максимизировать общую стоимость: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i</tex>;
*выполнялось условие совместности: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i \le leqslant W</tex>;
<tex> x_j = 1 </tex> если <tex> j</tex> предмет назначен рюкзаку, иначе <tex> x_{ij} = 0 </tex>, для всех <tex> i= 1,2,...\dots,N</tex>.
===Варианты решения===
Для решения пригодны любые методы применяемые для классической задачи, однако специализированые алгоритмы обычно более оптимальны по параметрам. Используются:
* Метод динамического программирования.
* Гибридный метод на основе динамического программирования и поиска по деревуИспользовать различные сложные алгоритмы <ref>http://hjemmesider.diku. В худшем случаеdk/~pisinger/codes.html</ref><ref>Pisinger D (1999). "Linear Time Algorithms for Knapsack Problems with Bounded Weights". ''Journal of Algorithms'', Volume 33, Number 1, October 1999, работает за pp. 1–14</ref><texref> OKoiliaris, Konstantinos; Xu, Chao (n2015-07-08) . "A Faster Pseudopolynomial Time Algorithm for Subset Sum".</ref><ref>Bringmann K. A near-linear pseudopolynomial time algorithm for subset sum[C]//Proceedings of the Twenty-Eighth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2017: 1073-1084</texref>.
===Метод динамического программирования===
Пусть <tex>d(i,c)</tex> максимальная сумма <tex>\le leqslant c</tex>, подмножества взятого из <tex> 1, ...\dots,\ i</tex> элементов.
Заполним <tex>d(0,c)</tex> нулями.
d(i,c) =
\begin{cases}
d(i - 1, c) & for\ c = 0, ...\dots, w_i - 1; \\ \max(d(i - 1, c), d(i - 1, c - w_i) + w_i) & for\ c = w_i, ...\dots, W;
\end{cases}
</tex>
==Задача о размене==
{{Задача|definition ='''Задача о размене''' (англ. ''Change-Making problem'') - имеются <tex> N </tex> неисчерпаемых типов предметов с весами <tex>w_i</tex>. Нужно наполнить рюкзак предметами с суммарным весом <tex>W</tex>.}}
Часто задачу ставят как, дать сдачу наименьшим количеством монет.
*сумма весов выбранных предметов равнялась вместимости рюкзака: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_i = W</tex>;
Где <tex> x_i \ge geqslant 0 </tex> целое, для всех <tex> i= 1,2,...\dots,N</tex>.
===Варианты решения===
Самые распространенные методы точного решения это:
d(i,c) =
\begin{cases}
d(i - 1, c) & for\ c = 0, ...\dots, w_i - 1; \\ min(d(i - 1, c), d(i, c - w_i) + 1) & for\ c = w_i, ...\dots, W;
\end{cases}
</tex>
Если не нужно восстанавливать ответ, то можно использовать одномерный массив <tex>d(c)</tex> вместо двумерного и использовать формулу:
<tex> d(c) = min(d(c), d(c - w_i) + 1) \qquad for\ c = w_i, ...\dots, W</tex>.
Сложность алгоритма <tex>O(NW)</tex>.
==Задача об упаковке==
{{Задача|definition ='''Задача об упаковке''' (англ. ''Bin Packing Problem'') - имеются <tex> N </tex> рюкзаков вместимости <tex> W </tex> и столько же предметов с весами <tex>w_i</tex>. Нужно распределить все предметы, задействовав минимальное количество рюкзаков.}}
'''Пример:''' Нужно вывезти из шахты все куски руды, используя наименьшее число вагонеток.
===Формулировка Задачи===
Математически задачу можно представить так:
*минимизировать количество рюкзаков: <tex>\sum_{i=1}^N y_i</tex>;
*так чтобы выполнялось условие на совместность: <tex>\sum_{i=1}^N w_ix_{ij} \le leqslant Wy_j \qquad j \in {1, ...\dots, N}</tex>;
<tex> x_{ij} = 1 </tex> если <tex> j</tex> предмет назначен <tex>i </tex> рюкзаку. Иначе <tex> x_{ij} = 0 </tex>.
==Мультипликативный рюкзак==
{{Задача|definition ='''Мультипликативный рюкзак''' (англ. ''Multiple Knapsack Problem'') - есть <tex>N</tex> предметов и <tex>M</tex> рюкзаков (<tex>M\le leqslant N</tex>). У каждого рюкзака своя вместимость <tex>W_i</tex>. Задача: выбрать <tex>M</tex> не пересекающихся множеств, назначить соответствие рюкзакам так, чтобы суммарная стоимость была максимальна, а вес предметов в каждом рюкзаке не превышал его вместимость.}}
'''Пример:''' У транспортной компании есть парк машин разной грузоподъемности. Нужно перевезти товара на максимальную сумму с одного склада на другой единовременно.
===Формулировка Задачи===
Максимизировать <tex>\sum_{i=1}^M \sum_{j=1}^{N} p_jx_{ij}</tex>
так, чтобы <tex>\sum_{i=1}^N w_jx_{ij} \le leqslant W_i</tex> выполнялось для всех <tex> i= 1,2,...\dots,N</tex>.
<tex>\sum_{j=1}^{M}x_{ij}=1</tex> для всех <tex> i= 1,2,...\dots,N</tex>.
==Задача о назначении==
{{Задача|definition ='''Задача о назначении''' (англ. ''Generalized Assignment Problem'') - Наиболее общая задача семейства. Отличается от мультипликативного рюкзака тем, что каждый предмет имеет различные характеристики в зависимости от рюкзака, куда его помещают. Есть <tex>N</tex> предметов и <tex>M</tex> рюкзаков (<tex>M\le leqslant N</tex>). У каждого рюкзака своя вместимость <tex>W_i</tex>, у <tex> j </tex> предмета <tex> p_{ij} </tex> стоимость и вес, при помещении его в <tex> i </tex> рюкзак, равны <tex> p_{ij} </tex> и <tex> w_{ij} </tex> соответственно. Задача: выбрать <tex>M</tex> не пересекающихся множеств, назначить соответствие рюкзакам так, чтобы суммарная стоимость была максимальна, а вес предметов в каждом рюкзаке не превышал его вместимость.}} 
Весьма важная задача, так как она моделирует оптимальное распределение различных задач между вычислительными блоками.
===Формулировка Задачи===
Максимизировать стоимость выбранных предметов <tex>\sum_{i=1}^M\sum_{j=1}^N p_{ij} x_{ij}</tex>,
при выполнении условия совместности <tex>\sum_{j=1}^N w_{ij} x_{ij} \le leqslant W_i \qquad i=1, \ldots, M</tex>.
<tex> \sum_{i=1}^M x_{ij} \leq leqslant 1 \qquad j=1, \ldots, N</tex>.
<tex> x_{ij} \in \{0,1\} \qquad i=1, \ldots, N, \quad j=1, \ldots, N</tex>.
Применение динамического программирования нецелесообразно. Наиболее используем метод ветвей и границ.
= Литература = См. также ==* [[Класс NP]]* [[Метод четырех русских для умножения матриц]]* [[Задача о редакционном расстоянии, алгоритм Вагнера-Фишера]]* [[Meet-in-the-middle]] == Источники информации ==
*[http://informatics.mccme.ru/moodle/mod/book/view.php?id=815&chapterid=60 Дистанционная подготовка по информатике]
*[http://rosettacode.org/wiki/Knapsack_Problem Код для нескольких задач семейства на всевозможных языках]
1632
правки

Навигация