1632
правки
Изменения
м
//статья в разработке//==Коэффициенты Фурье==
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> {{- --}} ОРТН-система векторов.
Тогда числа <tex>\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle</tex> называются коэффициентами Фурье вектора <tex>x</tex> относительно системы <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex>
}}
NB: <tex>\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)</tex> ==Неравенство Бесселя==
{{Лемма
|statement=
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k}{|\varphi_{i}|}^2</tex>
|proof=
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle =
\left\langle\sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum_{sum\textlimits_{j=1}}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle = \sum_{sum\textlimits_{i,j=1}}^{k} \varphivarphi_i\cdot\overline{\varphivarphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle</tex>;
Т.к. у нас ОРТН-базис, то <tex>\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}</tex>, поэтому одно суммирование можно убрать:
<tex>\sum_{sum\textlimits_{i,j=1}}^{k} \varphivarphi_i\cdot\overline{\varphivarphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum_{sum\textlimits_{i=1}}^{k} \varphivarphi_i\cdot\overline{\varphivarphi_j} = \sum_sum\limits_{i=1}^{k} {|\varphi_i|}^2</tex>}} {{Теорема|about = неравенство Бесселя|statement = <tex>\Vert x\textVert^2 \ge \sum\limits_{i=1}^{k} {|\varphi_i|}^2</tex>|proof= Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы}}==Равенство Парсеваля=={{Теорема|about= равенство Парсеваля|statement= <tex>\Vert x\Vert^2 =\sum\limits_{i=1}^{k} {|\varphivarphi_i|}^2\Longleftrightarrow x\in L</tex>|proof= Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы}}{{Теорема|statement=Для того, чтобы ОРТН-система векторов <tex>{\{e_i\}}^n_{i=1}</tex> могла бы быть полной в евклидовом пространстве <tex>E</tex>, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля: <tex>\Vert x\Vert^2 =\sum\limits_{i=1}^{n} {|\varphi_i|}^2</tex>, где <tex>n=\dim E</tex> |proof=Достаточность: пусть <tex>n\ne\dim E</tex>, тогда т.к. <tex>{\{e_i\}}^n_{i=1}</tex> {{---}} ОРТН-система, то набор <tex>{\{e_i\}}^n_{i=1}</tex> {{---}} ЛНЗ(по определению ортонормированности), а значит он может быть полным, только если <tex>n=\dim L</tex>Необходимость: полностью следует из равенства Парсеваля.
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
