Ортогональные системы векторов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «//статья в разработке// {{Определение |definition= Пусть <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> - ОРТН-система векторов ...»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 7 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
//статья в разработке//
+
==Коэффициенты Фурье==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
−
Пусть <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> - ОРТН-система векторов
+
Пусть <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex> {{---}} ОРТН-система векторов.
  
 
Тогда числа <tex>\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle</tex> называются коэффициентами Фурье вектора <tex>x</tex> относительно системы <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex>
 
Тогда числа <tex>\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle</tex> называются коэффициентами Фурье вектора <tex>x</tex> относительно системы <tex>{\{e_i\}}^k_{i=1}</tex>
 
}}
 
}}
−
NB: <tex>\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)</tex>
+
NB: <tex>\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum\limits_{i=1}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)</tex>
 +
 
 +
==Неравенство Бесселя==
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement=
 
|statement=
−
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \sum_{\text{i=1}}^{k}{|\varphi_{i}|}^2</tex>
+
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \sum\limits_{i=1}^k{|\varphi_{i}|}^2</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle =  
 
<tex>{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle =  
−
\left\langle\sum_{\text{i=1}}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum_{\text{j=1}}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle =  
+
\left\langle\sum\limits_{i=1}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum\limits_{j=1}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle =  
−
\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi}\left\langle e_i, e_j\right\rangle</tex>;
+
\sum\limits_{i,j=1}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle</tex>;
  
 
Т.к. у нас ОРТН-базис, то <tex>\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}</tex>, поэтому одно суммирование можно убрать:
 
Т.к. у нас ОРТН-базис, то <tex>\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}</tex>, поэтому одно суммирование можно убрать:
  
−
<tex>\sum_{\text{i,j=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum_{\text{i=1}}^{k} \varphi\cdot\overline{\varphi} = \sum_{\text{i=1}}^{k} {|\varphi|}^2</tex>
+
<tex>\sum\limits_{i,j=1}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum\limits_{i=1}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j} = \sum\limits_{i=1}^{k} {|\varphi_i|}^2</tex>
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема
 +
|about = неравенство Бесселя
 +
|statement = <tex>\Vert x\Vert^2 \ge \sum\limits_{i=1}^{k} {|\varphi_i|}^2</tex>
 +
|proof= Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы
 +
}}
 +
==Равенство Парсеваля==
 +
{{Теорема
 +
|about= равенство Парсеваля
 +
|statement= <tex>\Vert x\Vert^2 =\sum\limits_{i=1}^{k} {|\varphi_i|}^2 \Longleftrightarrow x\in L</tex>
 +
|proof= Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы
 +
}}
 +
{{Теорема
 +
|statement=
 +
Для того, чтобы ОРТН-система векторов <tex>{\{e_i\}}^n_{i=1}</tex> могла бы быть полной в евклидовом пространстве <tex>E</tex>, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля: <tex>\Vert x\Vert^2 =\sum\limits_{i=1}^{n} {|\varphi_i|}^2</tex>, где <tex>n=\dim E</tex> 
 +
|proof=
 +
Достаточность: пусть <tex>n\ne\dim E</tex>, тогда т.к. <tex>{\{e_i\}}^n_{i=1}</tex> {{---}} ОРТН-система, то набор <tex>{\{e_i\}}^n_{i=1}</tex> {{---}} ЛНЗ(по определению ортонормированности), а значит он может быть полным, только если <tex>n=\dim L</tex>
 +
Необходимость: полностью следует из равенства Парсеваля.
 
}}
 
}}
 +
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]

Текущая версия на 19:19, 4 сентября 2022

Коэффициенты Фурье

Определение:
Пусть [math]{\{e_i\}}^k_{i=1}[/math] — ОРТН-система векторов. Тогда числа [math]\varphi_i = \left\langle x, e_i\right\rangle[/math] называются коэффициентами Фурье вектора [math]x[/math] относительно системы [math]{\{e_i\}}^k_{i=1}[/math]

NB: [math]\mathcal{P}^{\bot}_L x = \sum\limits_{i=1}^{k}\varphi_{i}e_{i}\;\;(k \le n = \dim E)[/math]

Неравенство Бесселя

Лемма:
[math]{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \sum\limits_{i=1}^k{|\varphi_{i}|}^2[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]{\Vert\mathcal{P}^{\bot}_L x\Vert}^2 = \left\langle \mathcal{P}^{\bot}_L x; \mathcal{P}^{\bot}_L x\right\rangle = \left\langle\sum\limits_{i=1}^{k}\varphi_{i}e_{i}; \sum\limits_{j=1}^{k}\varphi_{j}e_{j}\right\rangle = \sum\limits_{i,j=1}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle[/math];

Т.к. у нас ОРТН-базис, то [math]\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \delta_{ij}[/math], поэтому одно суммирование можно убрать:

[math]\sum\limits_{i,j=1}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j}\left\langle e_i, e_j\right\rangle = \sum\limits_{i=1}^{k} \varphi_i\cdot\overline{\varphi_j} = \sum\limits_{i=1}^{k} {|\varphi_i|}^2[/math]
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (неравенство Бесселя):
[math]\Vert x\Vert^2 \ge \sum\limits_{i=1}^{k} {|\varphi_i|}^2[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы
[math]\triangleleft[/math]

Равенство Парсеваля

Теорема (равенство Парсеваля):
[math]\Vert x\Vert^2 =\sum\limits_{i=1}^{k} {|\varphi_i|}^2 \Longleftrightarrow x\in L[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Утверждается, что равенство напрямую следует из леммы
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Для того, чтобы ОРТН-система векторов [math]{\{e_i\}}^n_{i=1}[/math] могла бы быть полной в евклидовом пространстве [math]E[/math], необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля: [math]\Vert x\Vert^2 =\sum\limits_{i=1}^{n} {|\varphi_i|}^2[/math], где [math]n=\dim E[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Достаточность: пусть [math]n\ne\dim E[/math], тогда т.к. [math]{\{e_i\}}^n_{i=1}[/math] — ОРТН-система, то набор [math]{\{e_i\}}^n_{i=1}[/math] — ЛНЗ(по определению ортонормированности), а значит он может быть полным, только если [math]n=\dim L[/math]

Необходимость: полностью следует из равенства Парсеваля.
[math]\triangleleft[/math]
Источник — «http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=Ортогональные_системы_векторов&oldid=84887»