Разложение линейного пространства в сумму подпространств. 2-я теорема о ядре и образе. Теорема о проекторах. — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Теорема |statement= Пусть <tex>p_a(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex> (взаимнопростые делители) Пус...»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 4 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 +
|about = 2я теорема о ядре и образе
 +
|statement=
 +
Пусть <tex>p_a(\lambda) = p_1(\lambda) p_2(\lambda), \ </tex> и <tex>p_1(\lambda), p_2(\lambda)</tex> {{---}} взаимно простые <br>
 +
Тогда <tex>Ker p_1(\mathcal{A}) = Im p_2(\mathcal{A})</tex>
 +
|proof=
 +
пока без доказательства
 +
}}
 +
 +
{{Теорема
 +
|about = теорема о проекторах, но тут херня написана
 
|statement=
 
|statement=
 
Пусть <tex>p_a(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex> (взаимнопростые делители)
 
Пусть <tex>p_a(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)</tex> (взаимнопростые делители)
Строка 7: Строка 17:
 
Тогда 1) <tex>X = \dotplus \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})</tex>;
 
Тогда 1) <tex>X = \dotplus \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})</tex>;
  
<tex>I = \displaystyle \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})</tex>, где <tex>x = \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'} (\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})x=\sum_\limits{i=1}^k x_i</tex> так, что <tex>x_i = p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A}) \in \ker p_i(\mathcal{A})</tex>
+
<tex>I = \displaystyle \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})</tex>, где <tex>x = \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'} (\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})x=\sum\limits_{i=1}^k x_i</tex> так, что <tex>x_i = p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A}) \in \ker p_i(\mathcal{A})</tex>
  
 
<tex>p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A}) - проектор на ядро \ker p_i(\mathcal{A})</tex>
 
<tex>p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A}) - проектор на ядро \ker p_i(\mathcal{A})</tex>

Текущая версия на 19:19, 4 сентября 2022

Теорема (2я теорема о ядре и образе):
Пусть [math]p_a(\lambda) = p_1(\lambda) p_2(\lambda), \ [/math] и [math]p_1(\lambda), p_2(\lambda)[/math] — взаимно простые
Тогда [math]Ker p_1(\mathcal{A}) = Im p_2(\mathcal{A})[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
пока без доказательства
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (теорема о проекторах, но тут херня написана):
Пусть [math]p_a(\lambda) = \displaystyle \prod_{i=1}^k p_i(\lambda)[/math] (взаимнопростые делители)

Пусть [math]p_i^{'} = {p_a \over p_i}[/math]; [math]q_i[/math] - также понятно, что [math]\displaystyle \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'}(\lambda)\cdot q_i(\lambda) = \mathit{1}[/math]

Тогда 1) [math]X = \dotplus \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})[/math];

[math]I = \displaystyle \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})[/math], где [math]x = \sum\limits_{i=1}^k p_i^{'} (\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A})x=\sum\limits_{i=1}^k x_i[/math] так, что [math]x_i = p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A}) \in \ker p_i(\mathcal{A})[/math]

[math]p_i^{'}(\mathcal{A})\cdot q_i(\mathcal{A}) - проектор на ядро \ker p_i(\mathcal{A})[/math]

линейная оболочка остальных ядер = л.о. [math]\{\ker p_1(\mathcal{A}),...,\ker p_k(\mathcal{A})\}[/math]