Рёберный граф

Определение:

Пусть задан граф [math]G[/math], тогда его рёберным графом [math]L(G)[/math] называется граф, для которого верны следующие утверждения любая вершина графа [math]L(G)[/math] представляет ребро графа [math]G[/math], две вершины графа [math]L(G)[/math] смежны тогда и только тогда, когда их соответствующие рёбра смежны в [math]G[/math].

Граф [math]G[/math] и его реберный граф [math]L(G)[/math]

Построение

Граф [math]G[/math]	Новые вершины [math]L(G)[/math]	Добавлены рёбра в [math]L(G)[/math]	Рёберный граф [math]L(G)[/math]

Свойства

Утверждение:

Рёберный граф связного графа связен.

[math]\triangleright[/math]

Если [math]G[/math] связен, он содержит путь, соединяющий любые два его ребра, что переводится в путь графа [math]L(G)[/math], содержащий любые две вершины графа [math]L(G)[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Задача о максимальном независимом множестве для рёберного графа соответствует задаче нахождения максимального паросочетания в исходном графе.

Утверждение:

Рёберное хроматическое число графа [math]G[/math] равно вершинному хроматическому числу его рёберного графа [math]L(G)[/math].

Утверждение:

Рёберный граф рёберно-транзитивного графа является вершинно-транзитивным графом.

Утверждение:

Если граф [math]G[/math] — Эйлеров граф, то его рёберный граф является Гамильтоновым графом.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим Эйлеров путь [math]e_{i_1},v_{k_1},e_{i_2},\dots,v_{k_{n-1}},e_{i_n}[/math] в исходном графе [math]G[/math]. Составим из вершин реберного графа [math]L(G)[/math] последовательность [math]v_{j_1},\dots,v_{j_n}[/math], поcтавив в соответсвие ребру [math]e_{i_k}[/math] вершину [math]v_{j_k}[/math]. Так как два подряд идущих ребра [math]e_{i_k},e_{i_{k+1}}[/math] из исходного пути смежны, то из определения реберного графа следует, что сответствующие подряд идущие вершины в получившейся последовательности [math]v_{j_k},v_{j_{k+1}}[/math] смежны. Следовательно мы получили Гамильтонов путь [math]v_{j_1},e_{t_1},\dots,e_{t_{n-1}},v_{j_n}[/math] в реберном графе [math]L(G)[/math]. Доказательство для циклов аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Ребра графа [math]G[/math] можно разбить на полные подграфы таким образом, чтобы ни одна из вершин не принадлежала более чем двум подграфам.

Утверждение:

Реберный граф реберного графа [math]L(G)[/math] не является исходным графом [math]G[/math].

[math]\triangleright[/math]

Контрпримером является граф из раздела построение. В реберном графе количество вершин равно количеству ребер в исходном. Таким образом, в реберном графе к графу [math]L(G)[/math] будет [math]9[/math] вершин, а в исходном графе [math]G[/math] их всего [math]5[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Если [math]G[/math] — это [math](p,q)[/math]-граф с вершинами, имеющими степени [math]d_i[/math], то [math]L(G)[/math] имеет [math]q[/math] вершин и [math]q_L[/math] ребер, где [math]q_L = -q + {\dfrac{1}{2}}\sum\limits_i{d_{i}^{2}}[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

По определению реберного графа граф [math]L(G)[/math] имеет [math]q[/math] вершин. Каждые [math]d_i[/math] ребер, инцидентных вершине [math]v_i[/math], дают вклад [math]\begin{pmatrix} d_i \\ 2 \end{pmatrix}[/math] в число ребер графа [math]L(G)[/math], так что [math]q_L = \sum\limits_i{\begin{pmatrix} d_i \\ 2 \end{pmatrix}} = \dfrac{1}{2}\sum\limits_i{d_i(d_i-1)} = \dfrac{1}{2}\sum\limits_i{d_i^2}-\dfrac{1}{2}\sum\limits_i{d_i} = \dfrac{1}{2}\sum\limits_i{d_i^2-q}[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Источники информации

• Wikipedia — Реберные графы
• Харари Фрэнк Теория графов: Пер. с англ./ Предисл. В. П. Козырева; Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 4-е. — М.: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-397-00622-4.(Глава 8: Реберные графы. стр. 91-104)