Список заданий по АиСД-year2015-сем1

<wikitex>

Алгоритмы и структуры данных, 1 семестр

1. Можно ли построить структуру данных, с двумя видами операций, одна из которых работает за истинное $O(2^n)$, а вторая за истинное $O(\log{n})$, и при этом амортизированное время работы обеих операций $O(1)$. Почему?
2. Можно ли построить структуру данных, с двумя видами операций, одна из которых работает за истинное $O(\sqrt{n})$, а вторая за истинное $\Theta(\log{n})$, и при этом амортизированное время работы обеих операций $O(1)$. Почему?
3. Пусть структура данных выполняет два типа запросов. Первый тип запроса выполняется за $O(f(s) k \log{k})$, а второй — за $O(\frac{g(s)}{k \sqrt{k}})$, причем значение $k$ можно выбрать любым натуральным числом, а $f(s)$ и $g(s)$ известны и зависят от размера структуры данных. Вам стало известно, что к структуре данных сделают $n$ запросов первого типа, и $m$ запросов второго типа. Какое $k$ нужно выбрать, чтобы среднее время работы запросов было минимальным.
4. Проанализировать саморасширяющийся массив, если расширение происходит в $A$ раз ($1 < A$)
5. Проанализировать стек на саморасширяющемся массиве, если при полном заполнении происходит увеличение в 2 раза, а при заполнении менее чем на 1/4 - сужение в 2 раза с помощью метода потеницалов. Потенциал должен зависеть только от текущего состояния стека (размера выделенного массива и числа заполненных элементов) и не должен зависеть от истории операций.
6. Проанализировать стек на саморасширяющемся массиве, если при полном заполнении происходит увеличение в A раз, а при заполнении менее чем на B - сужение в C раз
7. Разработать вектор с добавлением/удалением с истинной стоимостью всех операций $O(\log n)$.
8. Разработать вектор с добавлением/удалением с истинной стоимостью всех операций $O(1)$.
9. В массиве есть элемент, который встречается хотя бы $n/2$ раз. Требуется найти его за $O(n)$ с $O(1)$ дополнительной памяти
10. Использования памяти без инициализации. Задан массив $a[1..n]$. Требуется поддержать две операции: $set(i, x)$ и $get(i)$. Операция $set$ должна присваивать $i$-му элементу массива значение $x$. Операция $get$ должна возвращать последнее присвоенное $i$-му элементу значение, либо 0, если присвоения не было. При этом исходно массив заполнен произвольными данными. Разрешается завести $O(1)$ дополнительных массивов (также заполненных произвольным мусором) и реализовать все операции за истинное $O(1)$.
11. Счетчик Кнута. Рассмотрим массив $a[0..n-1]$. Будем считать, что в каждом элементе может быть число 0, 1 или 2 и массив представляет собой число $a[0]+a[1]\cdot 2+a[2]\cdot 4 + \ldots + a[n-1]\cdot2^{n-1}$. Требуется реализовать операцию добавления $2^k$ к числу, представленному в массиве за истинное $O(1)$ и $O(n)$ дополнительной памяти.
12. Реализуйте менеджер памяти, позволяющий выделять и возвращать блоки одинакового размера за $O(1)$ времени и $O(1)$ дополнительной памяти
13. Предложите реализацию стека, которая дополнительно позволяет выполнить операцию "вернуть минимум значений в стеке"
14. Стек с множественным извлечением. Добавим в стек операцию multipop(k), которая снимает вершины стека k элементов. Докажите, что амортизированная стоимость операции multipop равна $O(1)$. Сформулируйте окончательное доказательство с использованием метода потенциалов.
15. Продемонстрируйте, как просимулировать очередь на двух стеках. Амортизированная стоимость операций push и pop должна быть $O(1)$.
16. Предложите реализацию очереди, которая дополнительно позволяет выполнить операцию "вернуть минимум значений в очереди". Амортизированная стоимость всех операций должна быть $O(1)$.
17. Можно ли реализовать два стека на очереди (ограничений на время выполнения операций нет)?
18. Задан односвязный список, каждый элемент знает следующий после себя. При этом возможно, что на самом деле список зацикливается (один из элементов ссылается как на следующий на элемент, который уже встречался в списке перед ним). Требуется проверить, зацикливается ли заданный односвязный список за $O(n)$ с $O(1)$ дополнительной памяти
19. $d$-кучей называется структура данных аналогичная двоичной куче, только у каждой вершины по $d$ детей. Двоичная куча является 2-кучей. В $d$-куче выполняется $m$ операций decreaseKey и $n$ операций extractMin. Какое оптимальное асимптотически $d$ следует выбрать?
20. В $d$-куче выполняется $m$ операций decreaseKey и $n$ операций extractMin. Время выполнения decreaseKey - $C_1 \log n$, а extractMin - $C_2 d \log n$. Какое $d$ следует выбрать?
21. Пусть подряд выполняется $n$ операций insert в пустую биномиальную кучу. Какое среднее время операции?
22. Как можно модифицировать биномиальную кучу, чтобы insert выполнялось за истинное $O(1)$, а амортизированная стоимость остальных операций не поменялась?
23. Тонкие кучи. Будем называть дерево "тонким", если оно может быть получено из биномиального удалением у некоторых вершин ребенка максимального ранга. Тонкой кучей называется коллекция тонких деревьев. Ограничений на число деревьев одного ранга нет. Разработайте операции merge и extractMin для тонких куч. Амортизированная стоимость операции extractMin должна быть $O(\log n)$. Амортизированная стоимость операции merge должна быть $O(1)$.
24. Разработайте операцию decreaseKey для тонкой кучи. Докажите, что амортизированное время выполнения есть $O(1)$ (используйте потенциал $2M + T$, где $M$ - число вершин, у которых удалили ребенка)
25. Докажите, что операция decreaseKey в тонкой куче из предыдущего задания выполняется за истинные $O(\log n)$
26. Ускорение extractMin. Докажите, что в тонкой куче можно добиться истинного $O(\log n)$ на extractMin, если обрабатывать корневой список, сливая деревья разных рангов, как при extractMin каждый раз, когда в корневом списке становится хотя бы $2\log n$ элементов.
27. Докажите оценку $O(\log n)$ для реализации СНМ со сжатием путей, но когда второе дерево всегда подвешивается на первое (а не обязательно меньшее на большее)
28. Докажите оценку $O(\log^* n)$ для СНМ, если вместо рангов используется число вершин в поддереве (меньшее дерево подвешивается на большее)
29. Решите задачу: найти во взвешеном дереве минимальный по весу путь, состоящий ровно из $k$ ребер
30. Пусть в реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев мы при объединении двух деревьев делаем корнем случайную из двух вершин. Приведите пример, где высота дерева в результате серии объединений будет $\Omega(n)$.
31. Пусть в реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев мы при объединении двух деревьев делаем корнем случайную из двух вершин. Сжатие путей не проводится. Докажите или опровергните, что в среднем время работы get будет $O(\log n)$.
32. Докажите, что если при реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев подвешивать одно дерево на другое произвольным образом, но не проводить сжатие путей, то среднее время работы get будет $O(\log n)$.
33. Докажите, что если при реализации СНМ с помощью леса корневых деревьев подвешивать одно дерево на другое случайным образом и проводить сжатие путей, то среднее время работы get будет $O(\log^* n)$.
34. Для каких $a$ определен $\log^*_a x$?
35. Докажите, что если для $a$ и $b$ определен $\log^*_a x$ и $\log^*_b x$, то $\log^*_a x = O(\log^*_b x)$.
36. Постройте массив, в котором сортировка выбором делает максимальное число обменов
37. Предложите алгоритм, который вычисляет число обменов, которое делает сортировка выбором, за $O(n \log n)$.
38. Найдите минимальное число сравнений для сортировки 4 элементов
39. Найдите минимальное число сравнений для сортировки 5 элементов
40. Постройте массив, в котором сортировка слиянием делает максимальное число сравнений элементов
41. Укажите способ посчитать число массивов, в которых сортировка слиянием делает максимальное число сравнений элементов, за полиномиальное время.
42. Предложите алгоритм слияния массива, состоящего из двух последовательно расположенных отсортированных фрагментов за $O(n)$ с использованием $O(\sqrt{n})$ дополнительной памяти
43. Предложите алгоритм слияния массива, состоящего из двух последовательно расположенных отсортированных фрагментов за $O(n)$ с использованием $O(1)$ дополнительной памяти
44. Докажите, что любой алгоритм, проверяющий, есть ли в массиве два одинаковых элемента с использованием только сравнений элементов, работает за $\Omega(n \log n)$
45. Укажите способ для алгоритма QSort с выбором среднего элемента в качестве элемента построить массив, на котором происходит максимальное число сравнений элементов
46. Укажите способ для любого детерминированного алгоритма выбора разделяющего элемента построить массив, на котором алгоритм QSort работает за $\Omega(n^2)$
47. Предложите алгоритм сортировки циклических сдвигов заданного массива с $n$ элементами, каждый из которых от 1 до $n$, за $O(n^2)$. Циклические сдвиги представлять единственным числом: номером первого элемента в исходном массиве.
48. Предложите алгоритм сортировки циклических сдвигов заданного массива с $n$ элементами, каждый из которых от 1 до $n$, за $O(n \log n)$. Циклические сдвиги представлять единственным числом: номером первого элемента в исходном массиве. Указание: зная порядок на подстроках длины $L$ порядок на подстроках длины $2L$ можно восстановить за $O(n)$.
49. Пусть известно, что массив длины $n$ из чисел от 1 до $n$ получен с помощью генератора случайных чисел, каждое число независимо получено с помощью равномерного распределения. Предложите модификацию алгоритма сортировки подсчетом, который сортирует данный массив за $O(n)$ используя лишь $O(\sqrt{n})$ дополнительной памяти (обе оценки должны выполняться в среднем).
50. Задан массив, полученный приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированному по возрастанию. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
51. Задан массив, полученный приписыванием отсортированного по убыванию массива в конец отсортированному по возрастанию и затем циклическим сдвигом получившегося массива. Все элементы массива различны. Требуется за $O(\log n)$ найти в нем заданный элемент.
52. Пусть выполняется целочисленный двоичный поиск с начальными значениями L = 0, R = $2^k$. Предложите алгоритм определения за $O(1)$ по заданным значениям L и R, могут ли они возникнуть в процессе двоичного поиска.
53. Пусть выполняется целочисленный двоичный поиск с начальными значениями L = 0, R = $n$. Предложите алгоритм определения за $O(\log n)$ по заданным значениям L и R, могут ли они возникнуть в процессе двоичного поиска. h
54. Оцените число итераций, которые вещественный двоичный поиск с условием цикла "L != M and R != M" делает в худшем случае при начальной инициализации L = L0, R = R0, если числа L0 и R0 одного знака.
55. Оцените число итераций, которые вещественный двоичный поиск с условием цикла "L != M and R != M" делает в худшем случае при начальной инициализации L = L0, R = R0, если числа L0 и R0 разных знаков, или одно из них равно 0.
56. Предложите алгоритм с временем работы $O(n)$ для следующей задачи: задан массив из неотрицательных чисел и число $k$, определите число отрезков с суммой, не превышающей $k$. Также проанализируйте, работает ли ваш алгоритм, если массив может содержать отрицательные числа: постройте контрпример или докажите, что работает.
57. Запросы на статическом массиве: задано число $k$ и запросы — посчитать ассоциативную необратимую функцию на отрезке длины от $k$ до $2k$. Ответ на запросы за $O(1)$ и препроцессинг за $O(n)$.
58. Запросы: 1. set(i, x) — $a_i := x$ (x — неотрицательно), 2. get(s) — найти такое минимальное $y$, что $\sum\limits_{i=1}^y a_i \ge s$, $\sum\limits_{i=1}^{y - 1} a_i < s$ за $O(\log{n})$.
59. Обработайте $q$ запросов на прибавление на отрезке, получите конечный массив длины $n$, за $O(n + q)$.
60. Обработайте запросы за $O(\log{n})$. Первый — присвоить значение элементу, второй — задан отрезок, найти подотрезок с максимальной суммой, содержащийся в этом отрезке.
61. Сведите задачу к запросам изменения в точке и функции на отрезке за $O(\log{n})$. Задача — отвечать на запросы: прибавление на отрезке и минимум на отрезке.
62. Решите за $O(\log{n})$ на запрос. Поступают запросы: изменить элемент, найти на заданном отрезке элемент с минимальным индексом, больший или равный заданного значения.
63. В дереве отрезков любой отрезок можно разбить на $O(\log n)$ непересекающихся отрезков дерева. Предложите способ выделить $O(n \log n)$ отрезков в массиве индексов 1..$n$, чтобы любой отрезок можно было разбить на $O(1)$ непересекающихся отрезков из выбранного множества
64. Дано $n$ точек на плоскости. Требуется найти наибольшую последовательность точек, в которой при переходе к следующей точке обе координаты строго возрастают, за $O(n \log n)$.
65. Дано $n$ прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Требуется найти точку, покрытую максимальным числом прямоугольников за $O(n \log n)$.
66. Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить ко всем элементам с $L$ по $R$ заданное число, получить произведение на отрезке. Время работы $o(n)$ на запрос (это задача-аукцион, пишите свое среднее время работы на запрос, время предпосчета и памяти на заявке)
67. Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить значение к элементам на отрезке, найти элемент с минимальным индексом, больший или равный заданного значения.
68. Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: найти $k$-й по величине элемент на отрезке с $i$-го по $j$-й. Время на запрос $O(\log n)$.
69. Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить к всем элементам с $L$ по $R$ значение, к $i$-му значению прибавляется $ki+b$, где $k$ и $b$ - параметры запроса, получить сумму на отрезке. Время на запрос $O(\log n)$.
70. Предложите решение задачи с помощью ДО. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить к всем элементам с $L$ по $R$ значение, к $i$-му значению прибавляется $ki+b$, где $k$ и $b$ - параметры запроса, получить минимум на отрезке. Время работы $o(n)$ на запрос (это задача-аукцион, пишите свое среднее время работы на запрос, время предпосчета и памяти на заявке)
71. Дано $n$ прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Требуется найти площадь объединения прямоугольников за $O(n \log n)$.
72. Дано $n$ прямоугольников на плоскости со сторонами, параллельными осям координат. Требуется найти периметр объединения прямоугольников за $O(n \log n)$.
73. Решите за $O(\sqrt{n}\log{n})$ на запрос амортизированно. Поступают запросы: развернуть отрезок и посчитать количество элементов на отрезке от $x$ до $y$.
74. Решите предыдущую задачу за $O(\sqrt{n\log{n}})$ на запрос истинно.
75. Решите с помощью персистентного дерева отрезков. Дано $n$ точек. Поступают запросы в online: прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, нужно найти $k$-ю точку по возрастанию $y$-координаты, среди лежащих внутри этого прямоугольника. Время работы: $O(\log{n})$ на запрос.
76. Решите предыдущую задачу без персистентного дерева отрезков.
77. Решите за $O(\log{n})$ на запрос. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить ко всем элементам на отрезке заданное число и вывести сумму сумм всех подотрезков отрезка.
78. Решите за $O(\log{n})$ на запрос. Задан массив $a[1..n]$. Поступают запросы: прибавить ко всем элементам на отрезке заданное число, умножить все элементы на отрезке на заданное число, вывести $i$-й элемент массива.
79. Модифицировать алгоритм Фараха-Колтона-Бендера, чтобы массив precalc занимал только $O(K \log{K})$ бит памяти для каждой маски.
80. Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес пути из $u$ в $v$". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(1)$.
81. Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес пути из $u$ в $v$" и "изменить вес ребра". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(\log{n})$.
82. Дано взвешенное дерево. Научиться отвечать на запросы "вес ребра" и "прибавить ко всем ребрам на пути от $v$ до $u$ число $d$". После предобработки за $O(n)$ ответ на запрос за $O(\log{n})$.
83. Алгоритм Хьюи. Дано дерево, вершины которого раскрашены в цвета, то есть задано отображение $col: V \to \{1..k\}$. С помощью LCA найти $dc: V \to \{1..k\}$, где $dc(u)$ - число различных цветов в поддереве с корнем в вершине $u$. Время работы: $O(V)$.
84. Задано взвешенное дерево. Посчитать число простых путей в дереве длины от $L$ до $R$ и весом от $x$ до $y$. Время работы $O(n \log^2{n})$.
85. Задано невзвешенное дерево. Изначально все вершины белого цвета. Научиться отвечать на запросы: покрасить белую вершину в черную, к заданной вершине найти ближайшую черную вершину. Время работы одного запроса $O(\log{n})$.
86. Задано невзвешенное дерево. Изначально все вершины белого цвета. Научиться отвечать на запросы: покрасить белую вершину в черную, покрасить черную вершину в белую, к заданной вершине найти ближайшую черную вершину. Время работы одного запроса $O(\log^2{n})$.
87. Покраску дерева в $k$ цветов от 1 до $k$ назовем яркой, если между любыми двумя вершинами одного цвета $c$, существует вершина цвета $d$, что $d < c$. Рассмотрим функцию $f(n) = k$ — минимальное $k$, что любое дерево из $n$ вершин можно ярко покрасить в $k$ цветов. Докажите, что $f(n) = O(\log{n})$
88. Задано дерево из $n$ вершин. В каждой вершине есть число. Нужно отвечать на запросы: медиана в множестве чисел, записанных в вершинах на пути. Время на запрос: $O(\log{n})$.
89. Рассмотрим подвешенное дерево. Пусть $s(v)$ — размер поддерева с корнем в вершине $v$, $C(v)$ — множество всех непосредственных потомков вершины $v$, $h(v) = \operatorname*{arg\,max}\limits_{u \in C(v)} s(u)$, $f(v) = s(v) - s(h(v))$. Доказать, что $\sum\limits_{v \in V}f(v) = O(n \log{n})$.
90. Рассмотрим подвешенное дерево. Пусть $k(v)$ — высота поддерева с корнем $v$, $C(v)$ — множество всех непосредственных потомков вершины $v$, $d(v) = \operatorname*{arg\,max}\limits_{u \in C(v)} k(u)$, $g(v) = \sum\limits_{\substack{

           u \in C(v) \\
           u \ne d(v)}} k(v)$. Доказать, что $\sum\limits_{v \in V}g(v) = O(n)$.

1. Задано подвешенное дерево. Нужно отвечать на запросы: подвесить вершину как лист к одной из имеющихся вершин, найти наименьшего общего предка двух уже добавленных вершин. Время работы запросов: $O(n \log{n})$.
2. Предложите алгоритм добавления в АВЛ-дерево за $O(h)$, где $h$ — высота дерева.
3. Предложите алгоритм удаления из АВЛ-дерева за $O(h)$, где $h$ — высота дерева.
4. Предложите алгоритм добавления в красно-черное дерево за $O(h)$, где $h$ — высота дерева.
5. Предложите алгоритм удаления из красно-черного дерева за $O(h)$, где $h$ — высота дерева.
6. Статически оптимальное дерево поиска: пусть заданы ключи и известно для каждого ключа, сколько раз его потребуется искать: $p[i]$. Требуется построить дерево поиска, чтобы суммарное время доступа ко всем ключам было минимально.
7. Предложите алгоритм слияния двух АВЛ-деревьев, при том, что в первом дереве все ключи меньше, чем во втором за $O(\log n)$
8. Предложите алгоритм разделения АВЛ-дерева на два, где в первом дереве все ключи меньше или равны заданному $x$, а во втором - больше, за $O(\log n)$
9. В АВЛ-дереве находятся вершины с ключами от 1 до $n$. Какие ключи могут быть в корне?
10. В красно-черном дереве находятся вершины с ключами от 1 до $n$. Какие ключи могут быть в корне?
11. Предложите реализацию АВЛ-дерева, в которой в каждом узле хранится $O(1)$ бит
12. Перекошенное сбалансированное дерево. Дерево называется перекошенным сбалансированным, если у каждой вершины разность высоты левого и правого поддерева 0, 1 или 2. Предолжите реализацию операций вставки и удаления для перекошенного сбалансированного дерева.
13. Мальчик Петя считает, что если в дереве поиска можно хранить несколько одинаковых ключей, то на пути от одного такого ключа до другого не может быть ключей с другим значением. Тогда можно легко найти все такие ключи. Прав ли он?
14. Докажите, что высота красно-черного дерева $O(\log{n})$.

</wikitex>