Сравнения, система вычетов, решение линейных систем по модулю

Сравнения по модулю

Будем рассматривать целые числа в связи с остатками от деления их на данное целое число m, которое назовем модулем. Каждому целому числу отвечает определенный остаток от деления его на m. Если двум целым a и b отвечает один и тот же остаток r, то они называются сравнимыми по модулю m.

Сравнимость для a и b записывается так :
[math]a \equiv b(mod \text{ } m)[/math]

Сравнимость чисел a и b по модулю m равносильна:

• а. Возможности представить a в форме [math]\Huge{a = b + mt}[/math], где t — целое.
• б. Делимости [math]\Huge{a - b}[/math] на m.
  • Действительно, из [math] a \equiv b(mod \text{ } m) [/math] следует [math] a = mq + r, \text{ } b = mq_1 + r [/math], откуда [math] a - b = m(q-q_1)[/math], и [math] a = b + mt[/math], где [math] t = q - q_1[/math].
    
  • Обратно, из [math]\Huge{a = b + mt}[/math], представляя b в форме [math] b = mq_1 + r [/math], выводим [math] a = mq + r [/math], где [math] q = q_1 + t [/math], значит [math] a \equiv b(mod \text{ } m) [/math].

Арифметика сравнений

Свойства сравнений

• 1. Два числа, сравнимые с третьим сравнимы между собой. [math]a \equiv c(mod \text{ }m) \text{, } b \equiv c(mod \text{ }m) \Rightarrow a \equiv b(mod \text{ }m)[/math]
  • Легко выводится из пункта "а".

• 2. Сравнения можно почленно складывать. [math] a_1 + a_2 + a_3 \equiv b_1 + b_2 + b_3(mod \text{ }m)[/math]
  • Представляем сравнения, как в пункте "а" и складываем.

• 3. Сравнения можно почленно перемножать. [math] a_1a_2a_3 \equiv b_1b_2b_3(mod \text{ }m)[/math]
  • Представляем сравнения, как в пункте "а", перемножаем, получим [math] a_1a_2a_3 = b_1b_2b_3+mN[/math], где N—целое.

• 4. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем.
  • Действительно, из [math]a \equiv b(mod \text{ } m)[/math], [math] a = a_1d, b = b_1d, (d,m)=1[/math] следует, что [math] a-b = (a_1 - b_1)d \vdots m [/math], поэтому [math] a_1 \equiv b_1(mod \text{ } m)[/math].

• 5. Обе части сравнения можно умножить на одно и тоже число.
  • Действительно, из [math]a \equiv b(mod \text{ } m)[/math], следует [math] a = b+mt, ak =bk +mkt [/math], и, следовательно, [math]ak \equiv bk(mod \text{ } mk)[/math].

• 6. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель.
  • Действительно, пусть [math]a \equiv b(mod \text{ } m), a = a_1d, b=b_1d, m=m_1d[/math], отсюда [math] a= b+mt, a_1d =b_1d +m_1dt, a_1 =b_1 +m_1t[/math], и, следовательно, [math]a_1 \equiv b_1(mod \text{ } m_1)[/math].

• 7. Если сравнение [math]a\equiv b[/math] имеет место по нескольким модулям, то оно имеет место и по модулю равному НОК этих модулей.
  • В самом деле, из [math] a \equiv b(mod \text{ }m_1),\ldots,a \equiv b(mod \text{ }m_k)[/math] следует, что разность [math] a-b [/math] делится на все модули [math] m_1,m_2,\ldots,m_k[/math]. Поэтому она должна делиться и на их НОК.

• 8. Если сравнение имеет место по модулю m, то оно имеет место и по модулю d, равному любому делителю числа m.
  • Следует из пункта "б".

• 9. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая сторона сравнения должна делиться на это число.
  • Следует из пункта "а".

• 10. Если [math]a \equiv b(mod \text{ }m) [/math], то [math](a,m) = (b,m) [/math].
  • Следует из пункта "а" по свойству НОДа.

Полная и приведенная система вычетов

Числа равноостаточные(сравнимые по модулю m) образуют класс чисел по модулю m. Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один остаток r, и мы получим все числа класса, если в форме [math]mt + r [/math] заставим t пробегать все целые числа. Таким образом для каждого значения остатка имеется свой класс чисел.

Любое число класса называется вычетом по модулю m. Вычет получаемый при [math] t = 0[/math], равный самому остатку r, называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Любые m чисел, попарно несравнимые по модулю m, образуют полную систему вычетов по этому модулю.

Согласно 10 свойству сравнений, числа одного класса по модулю m имеют одинаковый НОД. Особенно важны классы, содержащие числа, взаимно простые с модулем. Взяв вычет от каждого такого класса, получим приведенную систему вычетов по модулю m.

Решение линейных систем по модулю

Пусть [math] (a, m) = d [/math]. Сравнение [math] ax \equiv b(mod \text{ }m)[/math] невозможно, если b не делится на d. При b, кратном d, сравнение имеет d решений.
Поиск решений:
[math] ax \equiv b(mod \text{ }m)[/math], [math] (a, b) = d [/math]
Составим новое сравнение [math] \frac{a}{d}x \equiv \frac{b}{d}(mod \text{ } \frac{m}{d})[/math], обозначим его [math] a_dx \equiv b_d(mod \text{ } m_d)[/math]. Пусть его решением будет [math] x_0 [/math], тогда остальные решения найдутся по следующей формуле: [math] x_n = x_{n-1} - m_d [/math](следует понимать, что [math] x_i [/math] вычет по модулю, поэтому в этой формуле можно сменить знак, для удобства), всего решений будет d. Если нахождение [math] x_0 [/math] не является очевидным, то следует воспользоваться теорией цепных дробей, и тогда [math] x_0 = (-1)^{n-1}P_{n-1}b_d[/math], где [math] P_{n-1} [/math] - числитель подходящей дроби.

Примеры решения

Пример 1.
[math] 12x \equiv 6(mod \text{ }18)[/math]
Найдем НОД [math](12,18)=6 [/math]
Перейдем к новому сравнению [math] 2x \equiv 1(3) [/math]
Легко находится [math] x_0 = 2 [/math]
Тогда ответом будет [math] x_0 =2, x_1 = x_0 - \frac{m}{(a,m)}=-1, x_2 = -4[/math]

Пример 2.
[math] 111x \equiv 75(mod \text{ }321)[/math]
Найдем НОД [math](111,321)=3 [/math], 75 кратно 3, значит имеем 3 решения
Перейдем к новому сравнению [math] 37x \equiv 25(107) [/math]
Воспользуемся цепными дробями, в нашем случае [math] n=4, p_{n-1} = 26[/math], значит [math] x_0 \equiv -26\cdot 25 (107) \equiv 99(107) [/math]
Тогда ответом будет [math] x_0 = 99, x_1 = 206, x_2 = 313 [/math].