1632
правки
Изменения
м
Для каждого <tex>q</tex>(): '''for''' <tex>TL = 1\ \ldots +\infty</tex> '''for''' <tex>i = 1\ \ldots TL</tex> запустить <tex>i</tex>-ую в [[Главные нумерации|главной нумерации]] программу на <tex>TL</tex> шагов напечатать первый <tex>x</tex>, который вывела эта программа, такой что <tex>x \geqslant 2 i;</tex> ничего не печатать, если такого числа не найдется.
for (TL = 1 .. \inf)
for (i = 1 .. TL)
run pi with TL
print first x \ge 2 * i
Множество Обозначим <tex>E(q)</tex> — множество, которое перечисляет эта программа имунно. Докажем несколько лемм, из которых будет очевидна правильность утверждения теоремы.===Лемма 1=== Необходимо, чтобы перечислимое множество <tex>E(q)</tex> имело иммунное дополнение. Это означает, что <tex>E(q)</tex> должно пересекаться с любым бесконечным перечислимым множеством. {{Лемма |id= ==lemma==|about=1 |statement=Для любого бесконечного перечислимого множества <tex>B</tex> существует его элемент, принадлежащий <tex>E(q)</tex>.|proof=По построению, для любого множества <tex> B </tex> в <tex>E(q)</tex> будет содержаться первый его элемент не меньший <tex>2 i</tex>, где <tex>i</tex> {{---}} номер перечислителя множества <tex>B</tex>.}}===Лемма 2==={{Лемма|id= ==lemma==|about=2 |statement=Для любого бесконечного перечислимого множества <tex>B</tex> верно, что <tex>B \not \subset \overline{E(q)}</tex>.|proof=[[#Лемма 1|По первой лемме]] существует элемент <tex>B</tex>, принадлежащий <tex>E(q)</tex>, и, следовательно, не принадлежащий <tex>\overline{E(q)}</tex>.}}===Лемма 3==={{Лемма |id= ==lemma==|about=3|statement=<tex>\overline{E(q)}</tex> {{---}} бесконечно.|proof=Среди чисел от <tex>1</tex> до <tex>k</tex> множеству <tex>E(q)</tex> принадлежат не более <tex>\dfrac{k}{2}</tex>.Следовательно <tex>\overline{E(q)}</tex> принадлежат не менее <tex>\dfrac{k}{2}</tex>.}} Теперь докажем теорему.{{Теорема|statement=Существует простое множество.|proof= [[#Лемма 2|Из леммы (2)]] и [[#Лемма3|из леммы (3)]] следует, что <tex>\overline{E(q)}</tex> {{---}} иммунно.По построению <tex>E(q)</tex> перечислимо, его дополнение иммунно и, [[#Лемма 3|по лемме (3)]], бесконечно, а значит {{---}} оно простое. }}Простые множества являются примерами перечислимых множеств, не являющихся <tex>m</tex>-полными<ref>[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 2012. с. 58. ISBN 5-900916-36-7]</ref>. Именно так и возникло понятие простого множества: Пост искал пример перечислимого неразрешимого множества, которое не было бы <tex>m</tex>-полным <ref>[http://www.mccme.ru/free-books/shen/shen-logic-part3-2.pdf Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 2012.c. 62. ISBN 5-900916-36-7]</ref>. . == См. также ==*[[Перечислимые языки]]*[[m-сводимость]]== Примечания == <references /> == Источники информации ==* Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. С. 134. ISBN 5-900916-36-7* Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. — М.:Мир, 1972. С. 141-143.* [https://en.wikipedia.org/wiki/Simple_set Wikipedia {{---}} Simple set] [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Теория вычислимости]][[Категория:Разрешимые и перечислимые языки]]
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение|definition = Множество А называется имунным, если А - бесконечное, для любого бесконечного перечислимого B, натуральных чисел <tex>B \not \subset A</tex>называется '''иммунным''' (англ. ''immune set''), если оно бесконечно и не содержит бесконечных перечислимых подмножеств.}}
{{Определение
|definition = Множество натуральных чисел <tex>A</tex> называется '''простым''' (англ. '' simple set''), если <tex>A</tex> — перечислимое, бесконечное и <tex>\overline{A}</tex> {{---}} иммунное.
}}
==Теорема о существовании простого множества==Рассмотрим все перечислимые языки в лексикографическом порядке их перечислителей p_1,p_2,программы.Для некоторого [[Перечислимые_языки | перечислимого языка]] какая-то из них является его перечислителем..,p_nРассмотрим программу <tex>q</tex>:
