1632
правки
Изменения
м
Из того как работает функция get следуетДокажем по индукции:1Для 0 равенство очевидно.<tex> R(L(v))>R(v) </tex>2. Между Ранг вершины станет равным <tex> v i </tex> и при объединении поддеревьев ранга <tex> P(v) i-1</tex> существует путь вида , следовательно: <tex> v -> LK(v) -> L\ge K(Lv_1) + K(vv_2)) ... \ge 2^{i-1}+2^{i->P(v) 1} \ge 2^i </tex>Записав неравенство из первого пункта вдоль пути из второго пункта следует что <tex> R(P(v))>R(v) </tex> .
rollbackEdits.php mass rollback
Пусть <tex> union(v1v_1,v2v_2) - </tex> — процедура слития объединения двух множеств , содержащих v1,v2<tex> v_1 </tex> и <tex> v_2 </tex>, а <tex> get(v) - </tex> — поиск корня поддерева представителя множества, содержащего x<tex> v </tex>. Рассмотрим <tex> n </tex> операций <tex> union </tex> и <tex> m </tex> операций <tex> get</tex> (<tex> m > n </tex>). Для удобства и без потери Не теряя общности , будем считать , что у нас <tex> union </tex> принимает в качестве аргументов корни поддеревьев и (m>n)представителей, то есть (union(v1,v2) заменяем на union(get(v1),get(v2)). Тогда нам надо оценить стоимость операции get(v). Обозначим <tex>Runion(vv_1,v_2)</tex> - ранг вершины,заменяем на <tex>Punion(vget(v_1)</tex> - отец вершины,<tex>Lget(vv_2)) </tex> - самый первый отец вершины.
Оценим стоимость операции <tex> get(v) </tex>. Обозначим <tex> R(v) </tex> — ранг вершины, <tex>P(v)</tex> — представитель множества, содержащего <tex> v </tex>,<tex> L(v) </tex> — отец вершины,<tex> K(v) </tex> — количество вершин в поддереве, корнем которого является <tex> v </tex>. {{Утверждение |statement=<tex> R(P(v)) > R(v) </tex>|proof=Из принципа работы функции <tex> get </tex> следует:#<tex> R(L(v))>R(v) </tex>.#Между <tex> v </tex> и <tex> P(v) </tex> существует путь вида: <tex> v \rightarrow L(v) \rightarrow L(L(v)) \rightarrow \dots \rightarrow P(v) </tex>.Записав неравенство из первого пункта вдоль пути из второго пункта, получаем требуемое.}} {{Утверждение
|statement=
<tex> R(P(v))>R= i \Rightarrow K(v) \ge 2^i </tex>
|proof=
}}
Из последнего утверждения следует:
#<tex> R(v) \le \log_2(n) </tex>.
#Количество вершин ранга <tex> i \le {n \over 2^i} </tex>.
{{Теорема
|statement=
Амортизационная стоимость <tex> get = O(\log^{*}(n)) </tex>
|proof=
Рассмотрим некоторое число <tex> x </tex>.
Разобьем наши ребра на три класса:
#Ведут в корень или в сына корня.
#<tex> R(P(v)) \ge x^{R(v)}</tex>.
#Все остальные.
Обозначим эти классы <tex> T_1, T_2, T_3 </tex>.
Амортизационная стоимость
<center>
<tex>
S = {\sum_{get} \limits} ({\sum_{v:v \in get,v \in T_1} \limits 1}
+
{\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits 1} + {\sum_{v: \in get,v \in T_3} \limits 1} ) / m
</tex>,
</center>
где <tex> {v \in get } </tex> означает, что ребро, начало которого находится в <tex> v </tex>, было пройдено во время выполнения текущего <tex> get </tex>.
Ребро <tex> v </tex> эквивалентно вершине, в которой оно начинается.
В силу того, что <tex>{\sum_{v:v \in get,v \in T_1} \limits 1} = O(1) </tex> получаем:
<center>
<tex>
S = O(1) + {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_2} \limits} 1/m+ {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1 / m
</tex>.
</center>
Во время <tex> get </tex> после прохождения K ребер из второго класса <tex> R(v_1) \ge x^{x^{.^{.^{.^{x^{R(v)}}}}}} </tex>.
Из выше сказанного и первого следствия второго утверждения получаем, что:
<center>
<tex> {\sum_{v:v \in get,v \in T_2} \limits} \le \log^*_x(\log_2(n)) = O(\log^*(n))
</tex>.
</center>
Для того, чтобы <tex> \log^*_x(\log_2(n)) </tex> существовал необходимо, чтобы <tex> x > e ^{ 1 /e } \approx 1,44 </tex>.
Рассмотрим сумму
<center> <tex>
{\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1~/m
<
{\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1/n
</tex>. </center>
Из первого утверждения и в силу использования сжатия путей следует,
что <tex> R(P(x))</tex> cтрого увеличивается при переходе по ребру из <tex> T_3 </tex>.
Как максимум через <tex> x^{R(k)} </tex> переходов ребро перестанет появляться в классе <tex> T_3 </tex>.
<center><tex>
{\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1/n = {\sum_v \limits ~\sum_{get: in ~ this ~ get ~ v \in T_3} \limits }
1/n \le \sum_v \limits x^{R(v)} /n
</tex>.</center>
Из второго следствия второго утверждения следует:
<center> <tex>
{\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1/n \le \sum_{Rank=0}^{\log_2(n)} \limits {nx^{Rank} \over 2^{Rank} n}
</tex>.</center>
При <tex> x < 2~</tex>:
<center><tex>
{\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n
\le
\sum_{Rank=0}^{\log_2(n)} \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank}}
\le
\sum_{Rank=0}^\infty \limits {x^{Rank} \over 2^{Rank}}
\le
{ 2 \over 2-x } = O(1)
</tex>.</center>
Итак <tex> S = O(1) + O(\log^*(x)) + O(1) = O(\log^*(x)) </tex>.
В силу того, что интервал <tex> (1,45...2) </tex> не пустой, теорема доказана.
}}
== Ссылки ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm Wikipedia -Iterated logarithm]
