Изменения

Пусть <tex> union(v1v_1,v2v_2) </tex> - — процедура слития объединения двух множеств , содержащих <tex> v1 v_1 </tex>,и <tex> v2 v_2 </tex>, а <tex> get(v) </tex> - — поиск корня поддерева представителя множества, содержащего <tex> v </tex>. Рассмотрим <tex> n </tex> операций <tex> union </tex> и <tex> m </tex> операций <tex> get </tex>(<tex> m > n </tex>). Для удобства и без потери Не теряя общности , будем считать , что <tex> union </tex> принимает в качестве аргументов корни поддеревьев и <tex> m > n </tex>представителей, то есть <tex> union(v1v_1,v2v_2) </tex> заменяем на <tex> union(get(v1v_1),get(v2v_2)) </tex>.

Тогда нам надо оценить Оценим стоимость операции <tex> get(v) </tex>. Обозначим <tex>R(v)</tex> - — ранг вершины,<tex>P(v)</tex> - отец вершины— представитель множества, содержащего <tex> v </tex>,<tex>L(v) </tex> - самый первый — отец вершины, <tex> K(v) </tex> - — количество вершин в поддерева поддереве, корнем которого является <tex> v </tex> .

{{Утверждение

<tex> R(P(v))>R(v) </tex>

Из того как работает функция принципа работы функции <tex> get </tex> следует:1.#<tex> R(L(v))>R(v) </tex>.#Между <tex> v </tex> и <tex> P(v) </tex> существует путь вида: <tex> v \rightarrow L(v) \rightarrow L(L(v)) \rightarrow \dots \rightarrow P(v) </tex>.Записав неравенство из первого пункта вдоль пути из второго пункта, получаем требуемое.}}

2. Между {{Утверждение |statement=<tex> R(v) = i \Rightarrow K(v ) \ge 2^i </tex> и |proof=Докажем по индукции:  Для 0 равенство очевидно.Ранг вершины станет равным <tex> P(v) i </tex> существует путь вида : при объединении поддеревьев ранга <tex> v i-> L(v) -> L(L(v)) ... ->P(v) 1</tex>, следовательно:Записав неравенство из первого пункта вдоль пути из второго пункта следует что <tex> R(PK(v)\ge K(v_1)>R+ K(vv_2) \ge 2^{i-1}+2^{i-1} \ge 2^i </tex> .

Из последнего утверждения следует: #<tex> R(v) \le \log_2(n) </tex>.#Количество вершин ранга <tex> i \le {n \over 2^i} </tex>. {Утверждение{Теорема

Амортизационная стоимость <tex> R(v)get =i => KO(v) \ge 2log^i {*}(n)) </tex>

Докажем по индукцииРассмотрим некоторое число <tex> x </tex>.Разобьем наши ребра на три класса: Для 0 равенство очевидное#Ведут в корень или в сына корня.#<tex> R(P(v)) \ge x^{R(v)}</tex>.#Все остальные.Ранг вершины стает равным Обозначим эти классы <tex> i T_1, T_2, T_3 </tex> при сливании поддеревьев ранга i-. Амортизационная стоимость  <center><tex>S = {\sum_{get} \limits} ({\sum_{v:v \in get,v \in T_1} \limits 1}+{\sum_{v:v \in get, отсюда следуетv \in T2} \limits 1} + {\sum_{v:\in get,v \in T_3} \limits 1} ) / m </tex>,</center>где <tex>K {v \in get } </tex> означает, что ребро, начало которого находится в <tex> v </tex>, было пройдено во время выполнения текущего <tex> get </tex>. Ребро <tex> v </tex> эквивалентно вершине, в которой оно начинается. В силу того, что <tex>{\sum_{v:v \in get,v \in T_1} \limits 1} = O(v1)</tex> получаем: <center><tex>S =KO(v11)+ {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_2} \limits} 1/m+ {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1 / m</tex>.</center> Во время <tex> get </tex> после прохождения Kребер из второго класса <tex> R(v2v_1) \ge x^{x^{.^{.^{.^{x^{R(v)}}}}}} </tex>. Из выше сказанного и первого следствия второго утверждения получаем, что:<center><tex> {\sum_{v:v \in get,v \in T_2} \limits} \le \log^*_x(\log_2(n)) = O(\log^*(n))</tex>.</center> Для того, чтобы <tex> \log^*_x(\log_2(n)) </tex> существовал необходимо, чтобы <tex> x > e ^{ 1 /e } \approx 1,44 </tex>.  Рассмотрим сумму<center> <tex>{\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1~/m < {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1/n </tex>. </center> Из первого утверждения и в силу использования сжатия путей следует,что <tex> R(P(x))</tex> cтрого увеличивается при переходе по ребру из <tex> T_3 </tex>. Как максимум через <tex> x^{R(k)} </tex> переходов ребро перестанет появляться в классе <tex> T_3 </tex>. <center><tex>{\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1/n = {\sum_v \limits ~\sum_{get: in ~ this ~ get ~ v \in T_3} \limits } 1/n \le \sum_v \limits x^{R(v)} /n</tex>.</center> Из второго следствия второго утверждения следует:<center> <tex> {\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1/n \le \sum_{Rank=0}^{\log_2(n)} \limits {nx^{Rank} \over 2^{i-Rank} n}</tex>.</center> При <tex> x < 2~</tex>:<center><tex>{\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n\le\sum_{Rank=0}^{\log_2(n)} \limits {x^{Rank}+\over 2^{Rank}}\le\sum_{Rank=0}^\infty \limits {x^{Rank} \over 2^{iRank}}\le{ 2 \over 2-x } = O(1} )</tex>.</center>   Итак <tex> S = O(1) + O(\log^*(x)) + O(1) = O(\ge 2log^i *(x)) </tex>. В силу того, что интервал <tex> (1,45...2) </tex> не пустой, теорема доказана.

Следствия из предыдущей леммы* [http://en.wikipedia.org/wiki/Iterated_logarithm Wikipedia -Iterated logarithm]