Изменения

Пусть <tex> union(v1v_1,v2v_2) </tex> - — процедура слития объединения двух множеств , содержащих <tex> v1 v_1 </tex>,и <tex> v2 v_2 </tex>, а <tex> get(v) </tex> - — поиск корня поддерева представителя множества, содержащего <tex> v </tex>. Рассмотрим <tex> n </tex> операций <tex> union </tex> и <tex> m </tex> операций <tex> get </tex>(<tex> m > n </tex>). Для удобства и без потери Не теряя общности , будем считать , что <tex> union </tex> принимает в качестве аргументов корни поддеревьев и <tex> m > n </tex>представителей, то есть <tex> union(v1v_1,v2v_2) </tex> заменяем на <tex> union(get(v1v_1),get(v2v_2)) </tex>.

Тогда нам надо оценить Оценим стоимость операции <tex> get(v) </tex>. Обозначим <tex>R(v)</tex> - — ранг вершины,<tex>P(v)</tex> - отец вершины— представитель множества, содержащего <tex> v </tex>,<tex>L(v) </tex> - самый первый — отец вершины, <tex> K(v) </tex> - — количество вершин в поддерева поддереве, корнем которого является <tex> v </tex> .

<tex> R(P(v))>R(v) </tex>

Из того как работает принципа работы функции <tex> get </tex> следует:1.#<tex> R(L(v))>R(v) </tex>. 2. #Между <tex> v </tex> и <tex> P(v) </tex> существует путь вида : <tex> v -> \rightarrow L(v) -> \rightarrow L(L(v)) -> ... ->\rightarrow \dots \rightarrow P(v) </tex>.Записав неравенство из первого пункта вдоль пути из второго пункта следует что <tex> R(P(v))>R(v) </tex> , получаем требуемое.

<tex> R(v)=i => \Rightarrow K(v) \ge 2^i </tex>

 Для 0 равенство очевидноеочевидно.Ранг вершины стает станет равным <tex> i </tex> при сливании объединении поддеревьев ранга <tex>i-1</tex>, отсюда следуетследовательно:<tex>K(v)>=\ge K(v1v_1)+K(v2v_2) \ge 2^{i-1}+2^{i-1} \ge 2^i </tex>.

Из второго утверждения следует: 1. #<tex> R(v)<= \le \log_2(n) </tex>. 2. #Количество вершин ранга <tex> i <= \le {n \over 2^i} </tex>.

Амортизационная стоимость <tex> get = O(\log^{*}(n)) </tex>

Рассмотрим некоторое число <tex> x </tex> .

1.#Ведут в корень или в сына корня.#<tex> R(P(v)) \ge x^{R(v)}</tex>.#Все остальные. Обозначим эти классы <tex> T_1, T_2, T_3 </tex>. Амортизационная стоимость  <center><tex>S = {\sum_{get} \limits} ({\sum_{v:v \in get,v \in T_1} \limits 1}+{\sum_{v:v \in get,v \in T2} \limits 1} + {\sum_{v: \in get,v \in T_3} \limits 1} ) / m </tex>,</center>где <tex> {v \in get } </tex> означает, что ребро, начало которого находится в <tex> v </tex>, было пройдено во время выполнения текущего <tex> get </tex>. Ребро <tex> v </tex> эквивалентно вершине, в которой оно начинается. В силу того, что <tex>{\sum_{v:v \in get,v \in T_1} \limits 1} = O(1) </tex> получаем: <center><tex>S = O(1) + {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_2} \limits} 1/m+ {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T_3} \limits} 1 / m</tex>.</center>

2.Во время <tex> get </tex> после прохождения K ребер из второго класса <tex> R(P(vv_1))>=\ge x^{x^{.^{.^{.^{x^{R(v)}}}}}}</tex>.

3. Все остальныеИз выше сказанного и первого следствия второго утверждения получаем, что:<center><tex> {\sum_{v:v \in get,v \in T_2} \limits} \le \log^*_x(\log_2(n)) = O(\log^*(n))</tex>.</center>

Обозначим эти классы Для того, чтобы <tex> T1\log^*_x(\log_2(n)) </tex> существовал необходимо,T2чтобы <tex> x > e ^{ 1 /e } \approx 1,T3 44 </tex>.

В силу того что Рассмотрим сумму<texcenter>{\sum_{v \in get,v \in T1} \limits 1} = O(1) </tex> получаем <tex> S = O(1) + {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T2T_3} \limits} 1~/m+ < {\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3T_3} \limits} 1/m n </tex>. </center> Из первого утверждения и в силу использования сжатия путей следует,что <tex> R(P(x))</tex> cтрого увеличивается при переходе по ребру из <tex> T_3 </tex> .

После K ребер из второго класса Как максимум через <tex> R(v1) \ge x^{x^{.^{.^{.^{x^{R(vk)}}}}}} </tex> переходов ребро перестанет появляться в классе <tex> T_3 </tex>.

Из выше сказанного и первого следствия второй леммы получаем что <center><tex> {\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T2T_3} \limits} 1/n = log{\sum_v \limits ~\sum_{get: in ~ this ~ get ~ v \in T_3} \limits } 1/n \le \sum_v \limits x^*_x{R(log_2(nv)) = O(log^*(} /n)) </tex> . Для того чтоб <tex> log^*_x </tex> существовал необходимо чтобы <tex> x > e ^{ 1 /e } \approx 1,44 </texcenter>

Рассмотрим сумму Из второго следствия второго утверждения следует:<center> <tex>{\sum_{get} \limits} ~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3T_3} \limits} 1~/m < {n \le \sum_{getRank=0}^{\log_2(n)} \limits} ~ {\sum_nx^{v \in get,v \in T3Rank} \limitsover 2^{Rank} 1/n }</tex> Из первого утверждения следует <tex> R(P(x)) .</texcenter> только увеличивается при переходе по ребру из Т3.

Как максимум через При <tex> x^{R(k)} < 2~</tex> переходов ребро перестанет появляться в классе Т3.:<center><tex> {\sum_{get} \limits}~ {\sum_{v:v \in get,v \in T3} \limits} 1/n = {\sum_v \limits ~\sum_{get: in ~ this ~ get ~ v \in T3} \limits } 1/n < \sum_v \limits x^{R(v)} /n < le\sum_{Rank=0}^{log_{2}\log_2(n)} \limits {nxx^{Rank} \over n 2^{Rank}} </tex>.При <tex> x < 2~~~{\le\sum_{getRank=0} ^\infty \limits{x^{Rank}~ {\sum_over 2^{v \in get,v \in T3Rank}} \limits} 1/n < le{ 2 \over 2-x } = = O(1) </tex>. </center> В результате  Итак <tex> S=O(1)+O(1\log^*(x))+O(1)=O(1\log^*(x)) </tex>.В силу того , что интервал <tex> (1,4445...2) </tex> не пустой , теорема доказана.