1632
правки
Изменения
м
''Пункт 1''
rollbackEdits.php mass rollback
<tex>(\bar{x_i}, \bar{y_i}) \in \Pi_{ij}</tex>
<tex>\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{i= 0}^{n - 1} \sum\limits_{j = 0}^{m - 1} f(\bar{x_i}, \bar{y_j}) \delta Delta x_i \delta Delta y_j</tex>
<tex>|\Pi_{ij}| = \delta Delta x_i \delta Delta y_j</tex>
{{Определение
<tex>m_{ij} = \inf\limits_{\Pi_{ij}} f(x, y)</tex>, <tex>M_{ij} = \sup\limits_{\Pi_{ij}} f(x, y)</tex>
<tex>\underline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} m_{ij} \delta Delta x_i \delta Delta y_j</tex>,
<tex>\overline{s}(f, \tau) = \sum\limits_{i, j} M_{ij} \delta Delta x_i \delta Delta y_j</tex>
Введём понятие "измельчение разбиения":
Сам факт аддитивности сохраняется. Если <tex>\Pi</tex> разбито на конечное число прямоугольников <tex>p</tex>, и они не имеют общих внутренних точек, то:
* <tex>\exists \iint\limits_\Pi f \iff \forall m \ \exists \intiint\limits_{\Pi_m} f</tex>
* <tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
<tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{m = 1}^p \, \iint\limits_{\Pi_m} f</tex>
|proof=
''Пункт 1''. Сначала докажем для разбиения на стандартные клетки
<tex>a = a_0 < a_1 \ldots < a_n = b</tex>
<tex>\tau = \tau_1 \times \tau_2</tex> {{---}} разбиение прямоугольника <tex>\Pi</tex>.
В силу специфики выбора <tex>\tau_1</tex> и <tex>\tau_2</tex> ясно, что каждая клетка <tex>\Pi_{ij}</tex> разбивается в свою очередь на часть клеток разбиения <tex>\tau</tex>.
<tex>\iint\limits_\Pi f = \sum\limits_{i, j} \iint\limits_{\Pi_{ij}} f</tex>, то есть, для специального разбиения всё доказано.
''Пункт 2'' . Теперь докажем для общего случая(любое замощение прямоугольниками).
Занумеруем границы сторон <tex>\Pi_k</tex> в порядке возрастания их координат по вертикали. Так же сделаем с горизонталью. В результате получим
