1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
rollbackEdits.php mass rollback
[[Определение измеримой функции|<<]][[Сходимость по мере|>>]]
==1==
{{Утверждение
|statement=Пусть <tex>E</tex> измеримо, <tex>f_n : E \to \mathbb{R}</tex>, все <tex>f_n</tex> {{---}} измеримо измеримы на <tex>E</tex>, <tex>\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x)</tex>Тогда , тогда <tex>f</tex> тоже измеримо измерима на <tex>E</tex>.|proof=
Выведем это из стандартного факта анализа.
<tex>a = \lim\limits_{n\to\infty} a_n \Rightarrow iff a = \inf\limits_{n\in \mathbb{N}} \sup \{a_n, a_{n+1}, \ldots\} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}} \inf \{a_n, a_{n+1}, \ldots\}</tex>Но нас интересует следствие только в прямую сторону.
<tex>f(x) = \inf\limits_{n\to\infty} \sup \{f_n(x), f_{n+1}(x), \ldots\}</tex>
<tex>E(g_n\leq a) = \bigcap\limits_{m = n}^\infty E(f_m\leq a)</tex>
Аналогично <tex>\inf</tex>. Значит, <tex>f</tex> {{---}} измерима по Лебегу
}}
{{Определение
|definition=
Пусть заданы функции <tex>f_n, f</tex> на <tex>E</tex>, <tex>E' = \{x | x \in E, \lim\limits_{n\to\infty} f_n(x) \ne f(x)\}</tex>. Если <tex>\mu E' = 0</tex>, то <tex>f_n\to f</tex> '''почти всюду ''' на <tex>E</tex>.
}}
