1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}Геометрический смысл интеграла Лебега.[[Пространство L_p(E)|<<]][[Теорема Фубини|>>]]
E \subset \mathbb R^n, f : E \to (измерима) \mathbbR_+ В этом параграфе будет дан геометрический смысл интеграла Лебега.
G(f) = G = \{ (x_1, \dots , x_{n + 1} Определение|definition=Пусть <tex> E \in subset \mathbbRmathbb R^{n+1} , f : (x_1 E \dots x_n) to \in Emathbb R_+, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1, \dots x_n) \} </tex> — подграфик функцииизмерима.<br>
Сначала установим<tex> \varepsilon </tex> — мало, как фактыследовательно, связанные с цилиндрамипо критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости, <tex> G </tex> — измеримо.По монотонности меры:
Если f(x1 <tex> \dots x_n) = c lambda_{n+1} F_\varepsilon \le \ge 0 на E, то подграфик называется цилиндром в lambda_{n+1} G \mathbbR^le \lambda_{n + 1}.G_\varepsilon </tex>
Утверждение: G - цилиндр высоты c Также, так как <tex> \lambda_n F_\varepsilon \le \ge 0, имеримое lambda_n E \in le \lambda_n G_\mathbbR^n — основание. Тогда он измерим и varepsilon </tex>, то <tex> \lambda_{n+1} G = F_\varepsilon \le c \lambda_n lambda_{n} E\le \lambda_{n+1} G_\varepsilon </tex>.
Доказательство:Устремляя <tex> \varepsilon </tex> к нулю, в пределе приходим к <tex> \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>.
схема 5) <tex> E </tex> — от простого к сложному, применяется критерий \mu^+ -измеримости(принципа исчерпывания)произвольное измеримое множество.
1) Пусть E — параллелепипед (ячейка), то G тоже ячейкаИз сигма-конечности меры Лебега следует, формула выполняется.2) Пусть E — открытое множество. Его можно записать в формечто <tex> E = \bigcup\limits_n limits_{m=1}^{\Delta_n infty} E_m </tex> — дизъюнктнообъединение <s>возрастающих последовательностей</s> ограниченных измеримых попарно дизъюнктных множеств.
G_n Цилиндр <tex> G = \Delta_n bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, где <tex> G_m = E_m \times [a0, c]</tex>.
G_n — измеримы, следоватлеьно, G — измеримо6) Рассмотрим случай <tex> c = 0 </tex>.
По сигма-аддитивности меры Пусть <tex> \lambda_{nlambda_n E < +1} \infty </tex>, погрузим цилиндр <tex> G </tex> в цилиндр <tex> G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m ' </tex> с тем же основанием, и сколь угодно малой высотой <tex> c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E' > 0 </tex>. Из этого получаем, что <tex> G </tex> измерим и его мера — нулевая.
3) В противном случае, представим E в виде счетного объединения множеств с конечной мерой. Тогда <tex> G = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, где <tex> G_m </tex> — ограниченное замкнутое множествоцилиндр с основанием <tex> E_m </tex> и высотой 0. По доказанному, <tex> \lambda_{n+1} G_m = 0</tex>, а тогда и <tex> \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.}}
E \in \Delta — открытый параллелепипед.== Теорема о мере подграфика ==
\lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E0) Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.
4<tex> m_j = \inf\limits_{e_j} f(x) E — ограничено и измеримости, M_j = \forall sup\varepsilon limits_{e_j} f(x) </tex> 0, по свойствам меры Лебега.
Пусть F_<tex> \varepsilon — замкнутоеunderline s (\tau) = \sum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n e_j </tex>, G_<tex> \overline S (\tau) = \sum\limits_{j=1}^p M_j \varepsilon — открытое:lambda_n e_j </tex>
F_<tex> \varepsilon underline G_j = e_j \subset E times [0, m_j] </tex>, <tex> \subset G_overline G_j = e_j \varepsilontimes [0, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon M_j] </tex> — цилиндры с основанием <tex> e_j </tex> и высотами <tex> m_j, M_j < \varepsilon/tex>.
F_Представим <tex> \varepsilon underline G</tex> как дизъюнктное объединение: <tex> \underline G = \bigcup_{j=1}^p \times [aunderline G_j </tex>. Аналогично, c] <tex> \subset overline G \subset G_bigcup_{j=1}^p \varepsilon \times [0, c]overline G_j </tex>.
\lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0Ясно, c]) - что <tex> \lambda_{n+1} (F_underline G \varepsilon subset G \times [0, c]) = c (subset \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) overline G < c \varepsilon/tex>.
\varepsilon — мало, следоватлеьно, по критерию \mu^*-измеримости, G — измеримо. По монотонности мерыПри этом:
c <tex> \lambda_n F_lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \varepsilon sum\le limits_{j=1}^p \lambda_{n+1} G \le c underline G_j = \sum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n G_e_j = \underline S(\varepsilontau) </tex>
c: c Разность <tex> \lambda_n F_lambda_{n+1} \varepsilon \le c \lambda_n E \le overline G(\lambda_n G_\varepsilon \rightarrow tau) - \lambda_{n+1} \underline G (\tau) = c \lambda_n Eoverline S(\tau) - \underline S (\tau) </tex> сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения <tex> \tau </tex>.
5По критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости, подграфик <tex> G </tex> оказывается измеримым и <tex> \lambda_{n+1} \underline G(\tau) E — измеримое множество.= \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \lambda_{n+1} \overline G(\tau) = \overline S(\tau)</tex>
Мера В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега — сигма-конечна. E Дарбу можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множестввставить только интеграл, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множествзначит, мера E <tex> \lambda_{n+1} G(f) = пределу мер\int\limits_E f d \lambda_n </tex>. Базовый случай разобран.
Так же запишется цилиндр G1) <tex> \lambda_n E = + \infty </tex>, он окажется измеримым <tex> f </tex> — ограничена на <tex> E </tex>. (По сигма-конечности меры?) Представим E как объединение возрастающей последовательности множеств <tex> E_m </tex> с конечной мерой, переходим к переделу, победапусть <tex> G_m </tex> — подграфик сужения f на множестве <tex> E_m </tex>. <tex> \bigcup\limits_m G_m = G </tex> — измеримо.
Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему<tex> \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim \int\limits_{E_m} f d \lambda_n = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>(по сигма-аддитивности интеграла). 2) Если <tex> f </tex> не ограничена на <tex> E </tex>, то выстраиваем так называемые срезки: <tex> f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases} </tex> <tex> f_m(x) </tex> — измеримая, <tex> f_m(x) \xrightarrow[m \to \infty]{} f(x) </tex> <tex> f_m(x) </tex> — возрастает, <tex> f_m(x) \le f_{m+1} (x) </tex> По теореме Леви, <tex> \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n </tex> Пусть <tex> G_m </tex> — подграфик срезки <tex> f_m </tex>. Подграфики срезок образуют возрастающую последовательность и <tex> G = \bigcup\limits_m G_m</tex>. Так как срезки — функция ограниченная, из первого пункта: <tex> \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n </tex> <tex> \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>. Формула выведена в общем случае.
rollbackEdits.php mass rollback
<tex> G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{Теоремаn + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} </tex> — '''подграфик функции'''.}} == Цилиндры == |aboutЕсли <tex> f(x_1 \ldots x_n) =c \ge 0 </tex> на <tex> E </tex>, то подграфик называется цилиндром в <tex> \mathbb R^{n + 1} </tex>. о мере подграфика{{Утверждение
|statement=
<tex> G</tex> - цилиндр высоты <tex> c \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \subset \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и при <tex> c > 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>, при <tex> c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.|proof=Доказательство ведем от простого к сложному, применяется критерий <tex> \mu^* </tex>-измеримости. 1) Пусть <tex> E </tex> — параллелепипед (fячейка), тогда <tex> G </tex> тоже ячейка, формула выполняется. 2) Пусть <tex> E </tex> — открытое множество. Его можно записать в форме счетного объединения дизъюнктных ячеек: <tex> E = \bigcup\limits_n \Delta_n </tex>. Пусть <tex> G_n = \Delta_n \times [0, c] </tex>; <tex> G = E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n </tex> — тоже дизъюнктное объединение. <tex> G_n </tex> — измеримы, следовательно, <tex> G </tex> — измеримо. По сигма-аддитивности меры, <tex> \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E </tex>. 3) <tex> E </tex> — измеримограниченное замкнутое множество. Возьмем некий открытый параллелепипед <tex> \Delta </tex>, такой, что <tex> E \subset \Delta </tex>. <tex> \overline E = \Delta \setminus E </tex> — открыто — можно применить пункт 2: <tex> \lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E </tex>. <tex> \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \Delta </tex> <tex> E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E </tex>. 4) <tex> E </tex> — ограниченное и измеримое. Для произвольного <tex> \varepsilon > 0 </tex> подбираем <tex> F_\varepsilon </tex> — замкнутое и <tex> G_\varepsilon </tex> — открытое: <tex> F_\varepsilon \subset E \subset G_\varepsilon, \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon </tex>. <tex> F_\varepsilon \times [0, c] \subset G\subset G_\varepsilon \times [0, c] </tex>. <tex> \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) = c (\intlambda_n G_\limits_E f d varepsilon - \lambda_nF_\varepsilon) < c \varepsilon </tex>.
По уже доказанному, <tex> \lambda_{n+1} G_m = c \lambda_n E_m </tex>, а по свойствам меры, <tex> \lambda_{n+1} G - E = \sum\limits_m \times [0, lambda_{n+1} G_m = c] \sum\limits_m \lambda_n E_m = c \bigcup\limits_n G_n — дизъюнктныlambda_n E </tex>.
{{Теорема|about=о мере подграфика|statement=Если <tex> f(x) \overline ge 0 </tex> и измерима на множестве <tex> E \in \mathbb R^n </tex>, то её подграфик <tex> G(f) </tex> — измерим, а <tex> \lambda_{n+1}(G) = \Delta int\setminus E — открыто — можно применить пункт 2:limits_E f d \lambda_n </tex>.|proof=
<tex> f </tex> — ограниченная функция, <tex> E </tex> — измеримое множество конечной меры. <tex> f </tex> — измерима, следовательно, интеграл Лебега существует: <tex> \lambda_{n+1} [exists \Delta int\times [0, c]) = c limits_E f d \lambda_n \Delta_m</tex>
Рассмотрим <tex> \tau: E = \Delta \setminus \overline E, bigcup\lambda_limits_{n+1} G j= \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E^p e_j </tex> — дизъюнктны.
<tex> \lambda_n F_lambda_{n+1} \overline G(\tau) = \sum\limits_{j=1}^p \varepsilon lambda_{n+1} \le overline G_j = \lambda_n E sum\le limits_{j=1}^p M_j \lambda_n G_e_j = \varepsilon overline S(\varepsilon мало, это единственное число, которое можно вставитьtau)</tex>
}}
[[Пространство L_p(E)|<<]][[Теорема Фубини|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
