1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
rollbackEdits.php mass rollback
[[Пространство L_p(E)|<<]][[Теорема Фубини|>>]]
В этом параграфе будет дан геометрический смысл интеграла Лебега.
{{Утверждение
|statement=
<tex> G </tex> - цилиндр высоты c <tex> c \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \subset \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и при <tex> c > 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>, при <tex> c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.
|proof=
Доказательство ведем от простого к сложному, применяется критерий <tex> \mu^* </tex>-измеримости.
5) <tex> E </tex> — произвольное измеримое множество.
Из сигма-конечности меры Лебега следует, что <tex> E = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} E_m </tex> — объединение <s>возрастающих последовательностей </s> ограниченных измеримых попарно дизъюнктных множеств.
Цилиндр <tex> G = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, где <tex> G_m = E_m \times [0, c] </tex>.
По уже доказанному, <tex> \lambda_{n+1} G_m = c \lambda_n E_m </tex>, а по свойствам меры, <tex> \lambda_{n+1} G = \limsum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = c \limsum\limits_m \lambda_n E_m = c \lambda_n E </tex>.
6) Рассмотрим случай <tex> c = 0 </tex>.
В противном случае, представим E в виде счетного объединения множеств с конечной мерой. Тогда <tex> G = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, где <tex> G_m </tex> — цилиндр с основанием <tex> E_m </tex> и высотой 0. По доказанному, <tex> \lambda_{n+1} G_m = 0</tex>, а тогда и <tex> \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.
}}
== Теорема о мере подграфика ==
