1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}Геометрический смысл интеграла Лебега.[[Пространство L_p(E)|<<]][[Теорема Фубини|>>]]
E \subset \mathbb R^n, f : E \to (измерима) \mathbbR_+ В этом параграфе будет дан геометрический смысл интеграла Лебега.
G(f) = G = \{ (x_1, \dots , x_{n + 1} Определение|definition=Пусть <tex> E \in subset \mathbbRmathbb R^{n+1} , f : (x_1 E \dots x_n) to \in Emathbb R_+, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1, \dots x_n) \} </tex> — подграфик функцииизмерима.<br>
Сначала установим1) Пусть <tex> E </tex> — параллелепипед (ячейка), как фактытогда <tex> G </tex> тоже ячейка, связанные с цилиндрамиформула выполняется.
Если f(x1 \dots x_n2) = c \ge 0 на Пусть <tex> E, то подграфик называется цилиндром </tex> — открытое множество. Его можно записать в \mathbbR^{n + 1}.форме счетного объединения дизъюнктных ячеек:
Утверждение: G - цилиндр высоты c \ge 0, имеримое <tex> E = \in bigcup\mathbbR^n — основание. Тогда он измерим и limits_n \lambda_{n+1} G = c \lambda_n EDelta_n </tex>.
Доказательство:Пусть <tex> G_n = \Delta_n \times [0, c] </tex>;
схема — от простого к сложному<tex> G = E \times [0, применяется критерий c] = \bigcup\mu^+ -измеримости(принципа исчерпывания)limits_n G_n </tex> — тоже дизъюнктное объединение.
1) Пусть E <tex> G_n </tex> — параллелепипед (ячейка)измеримы, то следовательно, <tex> G тоже ячейка, формула выполняется.2) Пусть E </tex> — открытое множествоизмеримо. Его можно записать в формеE = \bigcup\limits_n \Delta_n — дизъюнктно
G_n По сигма-аддитивности меры, <tex> \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \Delta_n sum\times [a, limits_m \lambda_n \Delta_m = c]\lambda_n E </tex>.
G - 3) <tex> E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n </tex> — дизъюнктныограниченное замкнутое множество.
G_n — измеримыВозьмем некий открытый параллелепипед <tex> \Delta </tex>, следоватлеьнотакой, G — измеримочто <tex> E \subset \Delta </tex>.
По сигма-аддитивности меры <tex> \lambda_{n+1} G overline E = \sumDelta \limits_m setminus E </tex> — открыто — можно применить пункт 2: <tex> \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m overline G = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n overline E</tex>.
3<tex> \lambda_{n+1} (\Delta \times [0, c]) E — ограниченное замкнутое множество.= c \lambda_n \Delta </tex>
\overline 4) <tex> E = \Delta \setminus E — открыто </tex> — можно применить пункт 2:ограниченное и измеримое.
E = <tex> F_\Delta varepsilon \setminus \overline Etimes [0, c] \lambda_{n+1} subset G = \lambda_{n+1} (subset G_\Delta varepsilon \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E</tex>.
4<tex> \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0, c]) E — ограничено и измеримости- \forall lambda_{n+1} (F_\varepsilon > \times [0, по свойствам меры Лебегаc]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon </tex>.
Пусть F_<tex> \varepsilon </tex> — замкнутоемало, G_следовательно, по критерию <tex> \varepsilon mu^* </tex>-измеримости, <tex> G </tex> — открытоеизмеримо. По монотонности меры:
\lambda_{n + 1} (G_Устремляя <tex> \varepsilon \times [0</tex> к нулю, c]) - в пределе приходим к <tex> \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) G = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) E < c \varepsilon/tex>.
\varepsilon 5) <tex> E </tex> — мало, следоватлеьно, по критерию \mu^*-измеримости, G — измеримопроизвольное измеримое множество. По монотонности меры:
c Из сигма-конечности меры Лебега следует, что <tex> E = \lambda_n F_bigcup\varepsilon \le \lambda_limits_{n+m=1} G ^{\le c \lambda_n G_\varepsiloninfty} E_m </tex> — объединение <s>возрастающих последовательностей</s> ограниченных измеримых попарно дизъюнктных множеств.
c: c По уже доказанному, <tex> \lambda_n F_\varepsilon \le lambda_{n+1} G_m = c \lambda_n E E_m </tex>, а по свойствам меры, <tex> \le \lambda_n G_lambda_{n+1} G = \varepsilon sum\rightarrow limits_m \lambda_{n+1} G G_m = c \sum\limits_m \lambda_n E_m = c \lambda_n E</tex>.
56) E — измеримое множествоРассмотрим случай <tex> c = 0 </tex>.
Мера Лебега — сигма-конечна. Пусть <tex> \lambda_n E можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств< + \infty </tex>, погрузим цилиндр <tex> G </tex> в цилиндр <tex> G' </tex> с тем же основанием, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множестви сколь угодно малой высотой <tex> c' > 0 </tex>. Из этого получаем, что <tex> G </tex> измерим и его мера E = пределу мер— нулевая.
Так же запишется цилиндр В противном случае, представим E в виде счетного объединения множеств с конечной мерой. Тогда <tex> G= \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, он окажется измеримымгде <tex> G_m </tex> — цилиндр с основанием <tex> E_m </tex> и высотой 0. По доказанному, переходим к переделу<tex> \lambda_{n+1} G_m = 0</tex>, победаа тогда и <tex> \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.}}
Это утверждение позволяет стандартным образом доказать теорему.== Теорема о мере подграфика ==
Базовым случаем будет тот{{Теорема|about=о мере подграфика|statement=Если <tex> f(x) \ge 0 </tex> и измерима на множестве <tex> E \in \mathbb R^n </tex>, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбуто её подграфик <tex> G(f) </tex> — измерим, а <tex> \lambda_{n+1}(G) = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>.|proof=
f — ограниченная функция0) Базовым случаем будет тот, E — измеримое множество конечной мерыкогда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.
m_<tex> \underline s (\tau ) = \infsum\limits_{e_j=1}^p m_j \tau} flambda_n e_j </tex>, <tex> \overline S (x), M_\tau ) = \supsum\limits_{e_j=1}^p M_j \tau} f(x) lambda_n e_j </tex>
ИтакЯсно, \lambda_{n+1} что <tex> \underline G(\tau) = subset G \underline s(subset \tau)overline G </tex>.
В силу определения m_? ясно, что \underline G(\tau) \subset G(f) — подграфик.При этом:
Аналогично с M_? : <tex> \lambda_{n+1} \underline G(f\tau) = \subset sum\overline Glimits_{j=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_j = \sum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n e_j = \underline S(\tau)</tex>
По критерию Разность <tex> \mu^*-измеримости подграфик оказывается измеримым и lambda_{n+1} \underline soverline G(\tau) \le - \lambda_{n+1} \underline G(f\tau) \le = \overline sS(\tau) = - \lambda_{n+1} \overline Gunderline S (\tau) </tex> сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения <tex> \tau </tex>.
В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм ЛебегаПо критерию <tex> \mu^* </tex>-Дарбу можно вставить только интеграл, значитизмеримости, подграфик <tex> G </tex> оказывается измеримым и <tex> \lambda_{n+1} \underline G(f\tau) = \intunderline s(\tau) \le \limits_E lambda_{n+1} G(f d ) \le \lambda_{n+1} \lambda_n. Базовый случай разобран.overline G(\tau) = \overline S(\tau)</tex>
Далее разбор случаев:В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, <tex> \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n </tex>. Базовый случай разобран.
\int\limits_E Пусть <tex> G_m </tex> — подграфик срезки <tex> f_m d \lambda_n \to \int</tex>. Подграфики срезок образуют возрастающую последовательность и <tex> G = \limits_E f d bigcup\lambda_nlimits_m G_m</tex>.
срезки — функция ограниченная. \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n; с другой стороны f_n \to f, G_m (стрелка вверх), \bigcup\limits_m G_m = G — подграфик измерим и по сигма-аддитивности <tex> \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n</tex>. Формула выведена в общем случае.
rollbackEdits.php mass rollback
<tex> G(f) = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \mathbb R^{n+1} : (x_1 \ldots x_n) \in E, 0 \le x_{Теоремаn + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} </tex> — '''подграфик функции'''.}} == Цилиндры == |aboutЕсли <tex> f(x_1 \ldots x_n) =c \ge 0 </tex> на <tex> E </tex>, то подграфик называется цилиндром в <tex> \mathbb R^{n + 1} </tex>. о мере подграфика{{Утверждение
|statement=
<tex> G(f) </tex> - цилиндр высоты <tex> c \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \subset \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим, и при <tex> c > 0: \lambda_{n+1}(G) = c \intlambda_n E </tex>, при <tex> c = 0: \limits_E f d lambda_{n+1} G = 0 </tex>.|proof=Доказательство ведем от простого к сложному, применяется критерий <tex> \lambda_nmu^* </tex>-измеримости.
<tex> E = \in Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} (\Delta — открытый параллелепипед\times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E </tex>.
Для произвольного <tex> \lambda_{n+1} varepsilon > 0 </tex> подбираем <tex> F_\overline G = c varepsilon </tex> — замкнутое и <tex> G_\lambda_n \overline Evarepsilon </tex> — открытое:
<tex> F_\lambda_{n+1} [varepsilon \Delta subset E \times [0subset G_\varepsilon, c]) = c \lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \Delta_mvarepsilon </tex>.
<tex> \lambda_{n+1} F_\varepsilon \subset E le \subset G_lambda_{n+1} G \varepsilon, le \lambda_n lambda_{n+1} G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon./tex>
Также, так как <tex> \lambda_n F_\varepsilon \times [ale \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon </tex>, то <tex> \lambda_{n+1} F_\varepsilon \le c] \subset G lambda_{n} E \le \subset lambda_{n+1} G_\varepsilon \times [0, c]</tex>.
Цилиндр <tex> G = \lambda_n F_bigcup\varepsilon limits_{m=1}^{\le \lambda_n E \le \lambda_n G_infty} G_m </tex>, где <tex> G_m = E_m \varepsilon (\varepsilon мало, это единственное числоtimes [0, которое можно вставить)c] </tex>.
<tex> f </tex> — ограниченная функция, <tex> E </tex> — измеримое множество конечной меры. <tex> f </tex> — измерима \Rightarrow , следовательно, интеграл Лебега существует.: <tex> \exists \int\limits_E f d \lambda_n </tex>
Рассмотрим <tex> \exists tau: E = \intbigcup\limits_E f d \lambda_nlimits_{j=1}^p e_j </tex> — дизъюнктны.
<tex> m_j = \tau‘ E inf\limits_{e_j} f(x), M_j = \bigcupsup\limits_{\tau=1e_j}^p e_\tau — дизъюнктныf(какой-то трешx)</tex>
<tex> \underline s (\tau) G_j = e_j \sumtimes [0, m_j] </tex>, <tex> \limits_{?overline G_j =1}^p e_\tau m_\tau \lambda_n e_e_j \tau times [0, M_j] </tex> — цилиндры с основанием <tex> e_j </tex> и высотами <tex> m_j, M_j </tex>.
Представим <tex> \underline G (</tex> как дизъюнктное объединение: <tex> \tau) underline G = \bigcup\limits_bigcup_{?j=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_G_j </tex>. Аналогично, <tex> \tau = \sumoverline G \limits_bigcup_{?j=1}^p m_? \lambda_n e_? = \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau)overline G_j </tex>.
<tex> \lambda_{n+1} \overline G(\tau) - = \sum\limits_{j=1}^p \lambda_{n+1} \underline G(overline G_j = \sum\limits_{j=1}^p M_j \tau) lambda_n e_j = \overline sS(\tau) - \underline s (\tau) — сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения \tau.</tex>
1) <tex> \lambda_n E = + \infty. E_m (стрелка вверх o_O). \lambda_n E_m < + \infty. E = \bigcup\limits_m E_m — по сигма-конечности меры. /tex>, <tex> f </tex> — ограничена на <tex> E</tex>. G_m (стрелка вверхПо сигма-конечности меры?) Представим E как объединение возрастающей последовательности множеств <tex> E_m </tex> с конечной мерой, пусть <tex> G_m </tex> — подграфик сужения f пшшшна множестве <tex> E_m </tex>. <tex> \bigcup\limits_m G_m = G </tex> — измеримаизмеримо.
<tex> \lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} f d \lambda_n. Формула доказана= \int\limits_E f d \lambda_n </tex>(по сигма-аддитивности интеграла).
2) Если <tex> f </tex> не ограничена на <tex> E произв. меры</tex>, то выстраиваем так называемые срезки:
<tex> f_m(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \le m \\ m, & f(x) > m \end{cases}</tex>
<tex> f_m(x) </tex> — измеримая, <tex> f_m(x) \to (xrightarrow[m \to \infty) ]{} f(x) </tex>
<tex> f_m(x) </tex> — возрастает, <tex> f_m(x) \le f_{m+1} (x)</tex>
По теореме Леви:, <tex> \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n </tex>
Так как срезки — функция ограниченная, из первого пункта: <tex> \lambda_{n+1} G_m — подграфик срезки = \int\limits_E f_md \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n </tex>
}}
[[Пространство L_p(E)|<<]][[Теорема Фубини|>>]]
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]
