Изменения

<tex> E \subset \mathbb R^n, f : E \to \mathbb R_+, f </tex> — измеримаВ этом параграфе будет дан геометрический смысл интеграла Лебега.

{{Определение|definition=Пусть <tex> G(f) = G = E \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in subset \mathbb R^{n+1} , f : (x_1 E \ldots x_n) to \in Emathbb R_+, 0 \le x_{n + 1} \le f(x_1 \ldots x_n) \} </tex> — подграфик функцииизмерима.<br>

{{Теорема|about=о мере подграфика|statement=<tex> G(f) </tex> — измеримо, <tex> = G = \{ (x_1 \ldots x_{n + 1}) \in \lambda_mathbb R^{n+1}: (Gx_1 \ldots x_n) = \intin E, 0 \le x_{n + 1} \limits_E le f d (x_1 \lambda_n ldots x_n) \} </tex>— '''подграфик функции'''.{{TODO|t=не очень понимаю, что доказывается}}|proof=

<tex> G </tex> - цилиндр высоты c <tex> c \ge 0 </tex>, измеримое <tex> E \in subset \mathbb R^n </tex> — основание. Тогда он измерим и при <tex> c > 0: \lambda_{n+1} G = c \lambda_n E </tex>, при <tex> c = 0: \lambda_{n+1} G = 0 </tex>.

схема — Доказательство ведем от простого к сложному, применяется критерий <tex> \mu^+ * </tex> -измеримости(принципа исчерпывания).

1) Пусть <tex> E </tex> — параллелепипед (ячейка), то тогда <tex> G </tex> тоже ячейка, формула выполняется.

2) Пусть <tex> E </tex> — открытое множество. Его можно записать в форме<tex> E = \bigcup\limits_n \Delta_n </tex> — дизъюнктносчетного объединения дизъюнктных ячеек:

<tex> G_n E = \bigcup\limits_n \Delta_n \times [0, c] </tex>.

Пусть <tex> G G_n = E \Delta_n \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n </tex> — дизъюнктны.;

<tex> G = E \times [0, c] = \bigcup\limits_n G_n </tex> — измеримы, следоватлеьно, <tex> G </tex> — измеримотоже дизъюнктное объединение.

<tex> G_n </tex> — измеримы, следовательно, <tex> G </tex> — измеримо. По сигма-аддитивности меры , <tex> \lambda_{n+1} G = \sum\limits_m \lambda_{n+1} G_m = \sum\limits_m c \lambda_n \Delta_m = c \sum\limits_m \lambda_n \Delta_m = c \lambda_n E </tex>.

Возьмем некий открытый параллелепипед <tex> \Delta </tex>, такой, что <tex> E \subset \Delta </tex> — открытый параллелепипед.

<tex> \overline E = \Delta \setminus E </tex> — открыто — можно применить пункт 2:<tex> \lambda_{n+1} \overline G = c \lambda_n \overline E </tex>.

<tex> \lambda_{n+1} (\overline G Delta \times [0, c]) = c \lambda_n \overline E Delta </tex>

<tex> E = \Delta \setminus \overline E, \lambda_{n+1} G = \lambda_{n+1} [(\Delta \times [0, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c (\lambda_n \Delta - \lambda_n \overline E) = c \lambda_n E </tex>.

4) <tex> E = </tex> — ограниченное и измеримое. Для произвольного <tex> \Delta varepsilon > 0 </tex> подбираем <tex> F_\setminus varepsilon </tex> — замкнутое и <tex> G_\overline E, varepsilon </tex> — открытое: <tex> F_\lambda_{n+1} G = varepsilon \lambda_{n+1} (subset E \Delta subset G_\times [0varepsilon, c]) - \lambda_{n+1}(\overline G) = c(\lambda_n G_\Delta varepsilon - \lambda_n F_\overline E) = c varepsilon < \lambda_n E varepsilon </tex>.

4) <tex> E F_\varepsilon \times [0, c] \subset G \subset G_\varepsilon \times [0, c] </tex> — ограниченное и измеримое.

<tex> \forall lambda_{n + 1} (G_\varepsilon > \times [0, c]) - \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0 , c]) = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon </tex>, по свойствам меры Лебега.

Пусть <tex> F_\varepsilon </tex> — замкнутоемало, следовательно, по критерию <tex> G_\varepsilon mu^* </tex>-измеримости, <tex> G </tex> — открытоеизмеримо. По монотонности меры:

<tex> \lambda_{n+1} F_\varepsilon \subset E le \subset G_lambda_{n+1} G \varepsilon, le \lambda_n lambda_{n+1} G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon < \varepsilon </tex>.

Также, так как <tex> \lambda_n F_\varepsilon \times [0le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon </tex>, то <tex> \lambda_{n+1} F_\varepsilon \le c] \subset G lambda_{n} E \subset le \lambda_{n+1} G_\varepsilon \times [0, c] </tex>.

Устремляя <tex> \lambda_{n + 1} (G_\varepsilon \times [0</tex> к нулю, c]) - в пределе приходим к <tex> \lambda_{n+1} (F_\varepsilon \times [0, c]) G = c (\lambda_n G_\varepsilon - \lambda_n F_\varepsilon) < c \varepsilon E </tex>.

5) <tex> \varepsilon E </tex> — мало, следоватлеьно, по критерию <tex> \mu^* </tex>-измеримости, <tex> G </tex> — измеримопроизвольное измеримое множество. По монотонности меры:

Из сигма-конечности меры Лебега следует, что <tex> c E = \lambda_n F_bigcup\varepsilon \le \lambda_limits_{n+m=1} G ^{\le c \lambda_n G_\varepsilon infty} E_m </tex>— объединение <s>возрастающих последовательностей</s> ограниченных измеримых попарно дизъюнктных множеств.

Цилиндр <tex> G = \lambda_n F_bigcup\varepsilon limits_{m=1}^{\le \lambda_n E \le \lambda_n G_\varepsilon infty} G_m </tex> ( , где <tex> G_m = E_m \varepsilon times [0, c] </tex> мало, это единственное число, которое можно вставить{{TODO|t=че?}}).

По уже доказанному, <tex> c \lambda_n F_\varepsilon \le lambda_{n+1} G_m = c \lambda_n E E_m </tex>, а по свойствам меры, <tex> \le c \lambda_n G_lambda_{n+1} G = \varepsilon sum\rightarrow limits_m \lambda_{n+1} G G_m = c \sum\limits_m \lambda_n E_m = c \lambda_n E </tex>.

56) Рассмотрим случай <tex> E c = 0 </tex> — измеримое множество.

Мера Лебега — сигма-конечна. Пусть <tex> \lambda_n E < + \infty </tex> можно записывать как объединение возрастающих последовательностей ограниченных измеримых множеств, или как перемечение убывающих последовательностей ограниченных измеримых множествпогрузим цилиндр <tex> G </tex> в цилиндр <tex> G' </tex> с тем же основанием, мера и сколь угодно малой высотой <tex> c' > 0 </tex>. Из этого получаем, что <tex> E G </tex> = пределу меризмерим и его мера — нулевая.

Так же запишется цилиндр В противном случае, представим E в виде счетного объединения множеств с конечной мерой. Тогда <tex> G = \bigcup\limits_{m=1}^{\infty} G_m </tex>, он окажется измеримымгде <tex> G_m </tex> — цилиндр с основанием <tex> E_m </tex> и высотой 0. По доказанному, переходим к переделу<tex> \lambda_{n+1} G_m = 0</tex>, победа.а тогда и <tex> \lambda_{{TODO|tn+1} G =понятно это только звучит}}0 </tex>.

0) Базовым случаем будет тот, когда дело сводится к суммам Лебега-Дарбу.

<tex> f </tex> — ограниченная функция, <tex> E </tex> — измеримое множество конечной меры.<tex> f </tex> — измерима, следовательно, интеграл Лебега существует: <tex> \exists \int\limits_E f d \lambda_n </tex>

f Рассмотрим <tex> \tau: E = \bigcup\limits_{j=1}^p e_j </tex> — измерима \Rightarrow интеграл Лебега существуетдизъюнктны.

<tex> m_j = \exists inf\intlimits_{e_j} f(x), M_j = \limits_E sup\limits_{e_j} f d \lambda_n(x) </tex>

<tex> \tau‘ E underline s (\tau) = \bigcupsum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n e_j </tex>, <tex> \overline S (\tau) = \sum\limits_{j=1}^p e_M_j \tau — дизъюнктны(какой-то треш)lambda_n e_j </tex>

m_<tex> \tau underline G_j = e_j \inf\limits_{e_\tau} f(x)times [0, m_j] </tex>, M_<tex> \tau overline G_j = e_j \sup\limits_{e_\tau} f(x) times [0, M_j] </tex> — цилиндры с основанием <tex> e_j </tex> и высотами <tex> m_j, M_j </tex>.

Представим <tex> \underline s (G</tex> как дизъюнктное объединение: <tex> \tau) underline G = \sum\limits_bigcup_{?j=1}^p e_\tau m_underline G_j </tex>. Аналогично, <tex> \tau overline G \lambda_n e_bigcup_{j=1}^p \tau overline G_j </tex>.

Ясно, что <tex> \underline G (\tau) = subset G \bigcupsubset \limits_{?=1}^p \lambda_{n+1} \underline G_\tau = \sum\limits_{?=1}^p m_? \lambda_n e_? = \underline{CHTO ETO ZA BUKVA????} (\tau)overline G </tex>.

В силу определения m_? ясно, что <tex> \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \sum\limits_{j=1}^p \subset Glambda_{n+1} \underline G_j = \sum\limits_{j=1}^p m_j \lambda_n e_j = \underline S(f\tau) — подграфик.</tex>

Аналогично с M_? : <tex> \lambda_{n+1} \overline G(f\tau) = \subset sum\limits_{j=1}^p \lambda_{n+1} \overline GG_j = \sum\limits_{j=1}^p M_j \lambda_n e_j = \overline S(\tau)</tex>

Разность <tex> \lambda_{n+1} \overline G(\tau) - \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \overline sS(\tau) - \underline s S (\tau) — </tex> сколь угодно мала в силу существования интеграла за счет выбора разбиения <tex> \tau</tex>.

По критерию <tex> \mu^*</tex>-измеримости , подграфик <tex> G </tex> оказывается измеримым и <tex> \lambda_{n+1} \underline G(\tau) = \underline s(\tau) \le \lambda_{n+1} G(f) \le \overline s(\tau) = \lambda_{n+1} \overline G(\tau) = \overline S(\tau)</tex>

В этом неравенстве разбиение — любое. Между парой сумм Лебега-Дарбу можно вставить только интеграл, значит, <tex> \lambda_{n+1} G(f) = \int\limits_E f d \lambda_n</tex>. Базовый случай разобран.

<tex> \lambda_{n+1) } G = \lim \lambda_n E lambda_{n+1} G_m = + \infty. lim \int\limits_{E_m (стрелка вверх o_O). } f d \lambda_n E_m < + = \infty. E = int\bigcuplimits_E f d \limits_m E_m — lambda_n </tex>(по сигма-конечности меры. f — ограничена на E. G_m (стрелка вверхаддитивности интеграла) — подграфик f пшшш. \bigcup\limits_m G_m = G — измерима.

\lambda_{n+1} G = \lim \lambda_{n+1} G_m = \lim\limits_m \int\limits_{E_m} 2) Если <tex> f d \lambda_n. Формула доказана.</tex> не ограничена на <tex> E </tex>, то выстраиваем так называемые срезки:

2<tex> f_m(x) Если = \begin{cases} f не ограничена на E произв. меры(x), & f(x) \le m \\ m, то выстраиваем так называемые срезки:& f(x) > m \end{cases} </tex>

<tex> f_m(x) = \begin{cases} f(x)</tex> — измеримая, & f<tex> f_m(x) \le xrightarrow[m \to \ m, & infty]{} f(x) </tex> m \end{cases}

<tex> f_m(x) </tex> — измеримаявозрастает, <tex> f_m(x) \to (le f_{m \to \infty) f+1} (x) </tex>

f_m(x) — возрастаетПо теореме Леви, <tex> \int\limits_E f_m(x) d \lambda_n \to \int\limits_E f d \le f_{m+1} (x)lambda_n </tex>

Так как срезки — функция ограниченная, из первого пункта: <tex> \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f_m d \lambda_n \to \int\limits_E f d \lambda_n</tex>

<tex> \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_{n+1} G_m — подграфик срезки f_m= \int\limits_E f d \lambda_n </tex>. Формула выведена в общем случае.}}

срезки — функция ограниченная. \int\limits_E f_m d \lambda_n = \lambda_{n+1} G_m \to \int\limits_E f d \lambda_n; с другой стороны f_n \to f, G_m [[Пространство L_p(стрелка вверхE), \bigcup\limits_m G_m = G — подграфик измерим и по сигма-аддитивности \lambda_{n+1} G = \lim\limits_m \lambda_m \lambda_{n+1} G_m = \int\limits_E f d \lambda_n. Формула выведена в общем случае.|<<]][[Теорема Фубини|>>]]}}[[Категория:Математический анализ 2 курс]]