Изменения

{{В разработке}}'''Алгоритм ФарачаФараха''' — , разработанный в 1997 году американским ученым Мартином Фарах-Колтоном (Martin Farach-Colton) {{---}} алгоритм построения [[Сжатое суффиксное дерево|суффиксного дерева]] для заданной строки <tex>s</tex>, который длины <tex>N</tex>. Сам алгоритм выполняется за время <tex>O(N)</tex>, при этом причём даже не требуется выполнения выполнение условия конечности алфавита. Такая эффективность достигается за счет счёт того, что строковые последовательности определяются на индексированном алфавите или, что эквивалентно, на целочисленном алфавите <tex>\Sigma = \{1, 2 {...}\dots , ak\}</tex>, при . При этом накладывается дополнительное условие, что <tex>a \in k = O(N)</tex>. Такие алфавиты часто встречаются на практике. Важно помнить, что алгоритм скорее теоретический, нежели практический, а основная его ценность заключается в том, что размер алфавита может быть произвольным. == Описание алгоритма == Идея алгоритма состоит в том, что мы уменьшаем размер исходной строки, строим суффиксное дерево для неё рекурсивно, а потом получаем из построенного дерево для текущей строки. Для этого мы разбиваем символы исходной строки на пары и нумеруем их, а из полученных номеров составляем новую строку, которая уже в <tex>2</tex> раза короче. Алгоритм Фараха будет описан в виде пяти выполняемых шагов. Используем в качестве примера строку <tex>s = 121112212221</tex>, определенную на алфавите <tex>\Sigma = \{1, 2\} </tex> (в этом примере <tex>N = 12</tex>).=== Шаг 1: суффиксное дерево для сжатой строки=== [[Файл:tree101232.png|thumb|300px|Суффиксное дерево для сжатой строки]]* Строка <tex>s</tex> разбивается на пары подряд идущих символов: <tex> \langle 12\rangle \langle 11\rangle \langle 12\rangle \langle 21\rangle \langle 22\rangle \langle 21\rangle </tex>*: (если символов нечётное число {{---}} последняя пара дополняется специальным символом <tex>\$</tex>).* Пары сортируются устойчивой сортировкой (удобно сортировать [[Цифровая_сортировка | поразрядной]], так как число разрядов мало, размер алфавита — <tex>O(n)</tex>, то время работы сортировки — линейное): <tex> \langle 11 \rangle \langle 12\rangle \langle 12\rangle \langle 21\rangle \langle 21\rangle \langle22\rangle </tex>.* Удаляются копии: <tex> \langle 11\rangle \langle 12\rangle \langle 21\rangle \langle 22\rangle </tex>.* Парам даются номера (условно, в массиве они и так есть): <tex>\langle 11 \rangle -(0), \langle 12\rangle -(1), \langle 21\rangle - (2), \langle 22\rangle-(3)</tex>.* В исходной строке пары заменяются на номера: <tex>1 0 1 2 3 2</tex>.* Из полученной строки вдвое меньшего размера рекурсивно создаётся [[Сжатое суффиксное дерево | суффикcное дерево]] тем же алгоритмом.* Рекурсия не продолжается, если строка имеет длину, равную единице: суффиксное дерево строится тривиально. === Шаг 2: построение чётного дерева ==={{Определение|definition= Чётное дерево <tex>T^{even}_s</tex> является деревом суффиксов для строки <tex>s</tex>, узлы-листья которого ограничены чётными позициями <tex>0, 2, 4, 6, \dots </tex> строки <tex>s\$</tex>.}} [[Файл:Tree101232even-pre.png|thumb|300px|Раскрываем все пары в суффиксы]][[Файл:Tree101232even.png|thumb|300px|Корректируем все развилки дерева]] Из дерева сжатой строки получаем частичное (чётное) дерево исходной строки. Частичное оно потому, что в нём будет только половина суффиксов, то есть те, которые стоят в чётных позициях. Номер каждой пары превращается в номер чётного суффикса исходной строки. Раскрываем все пары в суффиксы, из-за чего номера в листьях от этого умножатся на <tex>2</tex> очевидным образом. Корректируем все развилки дерева (так как они могут совпадать в первых символах):для всех внутренних вершин <tex>u</tex>, ребра всех детей которых начинаются с одинаковых символов, мы создадим новую вершину между <tex>u</tex> и ее детьми. Это можно сделать быстро, так как все ребра, исходящие из любой вершины, лексикографически отсортированы по своим первым двум символам (так как мы сортировали номера пар на прошлом шаге). Для каждого ребра нам достаточно проверить, что его первый символ соответствует первому символу соседнего ребра, и, если так, сделать необходимые исправления. Может случиться, что ребра ко всем детям <tex>u</tex> начинаются с одинакового символа, и в этом случае у вершины <tex>u</tex> будет только один ребенок. Тогда удалим <tex>u</tex>.Эта процедура требует константное время на каждое ребро и константное время на каждую вершину, а значит, на нее требуется линейное время. Итак, если <tex>T(n)</tex> {{---}} это время, которое потребуется нашему алгоритму, чтобы построить суффиксное дерево для строки <tex>S</tex>, то <tex>T_{even}</tex> может быть построено за время <tex>T(n/2) + O(n)</tex>       

=== Шаг 3: построение нечетного нечётного по четному чётному ===

|definition= Нечетное Нечётное дерево <tex>T^{odd}_s</tex> является деревом суффиксов для строки <tex>s</tex>, узлы-листья которого ограничены нечетными нечётными позициями <tex>1,3,5,{...} \dots </tex> строки <tex>s\$</tex>.}}

Из чётного дерева, нужно получить нечётное [[Файл:Odd.png|thumb|450px|Нечётное дерево (дерево из суффиксов в нечётных позициях). Для этого можно взять суффиксный массив чётного дерева, отрезать первые символы, и выполнить стабильную сортировку по оставшимся первым символам: ]]

[[Файл:oddИз чётного дерева нужно получить нечётное дерево (дерево из суффиксов в нечётных позициях).png|300px|thumb|right| нечетное дерево]]

{* [[Сжатое_суффиксное_дерево#.D0.9F.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.B8.D0.B7_.D1.81.D1.83.D1.84.D1.84.D0.B8.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BC.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D0.B2.D0.B0 |class="wikitable"Строим по чётному дереву суффиксный массив]] — это можно сделать за <tex>О(n)</tex>. |+!width="20%"|ID !!width="20%"|LCP !!width="20%"|STR |- align = "center"|3|0|112212221 |- align = "center"|7|1|12221 |- align = "center"|11|1|1 |- align = "center"|1|0|21112212221|- align = "center"|5|1* Дописываем ко всем суффиксам (кроме того, что на нулевой позиции) символ, предшествующий ему в строке. |2212221 |- align = "center"|9|3|221 * Заметим, что все нечётные суффиксы представляют собой один символ, за которым дальше следует чётный суффикс. А чётные суффиксы у нас уже были отсортированы в суффиксном массиве. Тогда отсортируем их по первому символу за линейное время.* [[Сжатое_суффиксное_дерево#.D0.9F.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.80.D0.BE.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B5_.D0.B8.D0.B7_.D1.81.D1.83.D1.84.D1.84.D0.B8.D0.BA.D1.81.D0.BD.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BC.D0.B0.D1.81.D1.81.D0.B8.D0.B2.D0.B0 |}Построим из нового суффиксного массива дерево]], которое будет уже нечётным, что тоже делается за линейное время.

Для выяснения общего префикса строкТаким образом, автор предлагает использовать находить общего предка вершин в суффиксном дереве. Считается что такой предок можно найти <tex>T_{odd}</tex> может быть построено за константное линейное времяпо <tex>T_{even}</tex>. Для примера в этом дереве, общее начало строк '''5''' и '''9''' (11011111000 1111011111000) записано в пути от корня до общего предка этих вершин: (рис. 3-1)[[Файл:treestep3_blue.jpg|400px|thumb|left|рис. 3-1]]

[[Файл=== Шаг 4:treestep3_red.jpg|400px|thumb|left|рис. 3-2]]Поскольку структуры слияние чётного и нечётного дерева у нас заранее нет и мы её только строим, то подходящих предков мы можем найти в исходном чётном дереве, для этого достаточно проверить вершины с номерами на еденицу меньше и отрезать первый символ : (рис. 3-2).===

== Шаг 4: слияние четного Далее необходимо найти эффективный способ слияния нечётного и нечетного дерева ==чётного деревьев в одно дерево <tex>T_s</tex>. Слияние будем производить начиная с корней деревьев. Предположим, что для каждого узла деревьев <tex>T_s^{odd}</tex> и <tex>T_s^{even}</tex> выходящие из них ребра занесены в специальные списки, где они '''упорядочены''' в возрастающем лексикографическом порядке подстрок, которые представляют эти ребра. Пусть каждое ребро будет дополнительно "помечено" своим первым символом. Возьмем по одному ребру из этих списков с одинаковыми метками (в одном списке не может быть ребер с одинаковыми метками, так как это сжатые суффиксные деревья), обработаем их и рекурсивно спустимся в их поддеревья. Если для ребра из одного списка не оказалось ребра с такой же меткой из другого, то в поддеревья не спускаемся, так как там нечего сливать.Очевидно, манипуляции со списками работают за линейное время, так как сами списки упорядочены лексикографически.

Далее необходимо найти эффективный способ слияния нечетного и четного деревьев в одно дерево <tex>Т_s</tex>. Слияние будем производить начиная с корня. Предположим, что для каждого узла деревьев <tex>Т_s^{odd}</tex> и <tex>Т_s^{even}</tex> выходящие из них ребра занесены в специальные списки, где они упорядочены в возрастающем лексикографическом порядке подстрок, которые представляют эти ребра. Алгоритм слияния деревьев просматривает только первые буквы подстрок, представленных ребрами деревьев <tex>Т_sT_s^{odd}</tex> и <tex>Т_sT_s^{even}</tex>, пусть это будут буквы <tex>\lambda^{odd}</tex> и <tex>\lambda^{even}</tex>. Тогда:

* если <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex> и длины подстрок, представленных соответствующими ребрами, равны, в дерево слияния к текущему узлу добавляются два сына: один — {{---}} из четного чётного дерева, другой — {{---}} из нечетногонечётного;

Поскольку мы рассматриваем только первый символ каждого ребра (то есть делаем вид, что ребра равны, если первые символы у них равны), мы можем иногда слить рёбра, которые не должны были быть слиты. Однако те, которые надо было слить, точно сольем. Если начать эту процедуру для корней нечетного нечётного и четного чётного деревьев, далее она рекурсивно выполняется выполнится для корней всех поддеревьев, которые, возможно, уже содержат узлы из нечетного нечётного и четного чётного деревьев, поскольку ранее мог быть реализован случай <tex>\lambda^{odd}</tex> <tex>=</tex> <tex>\lambda^{even}</tex>. Так как время манипулирования с любым ребром этих деревьев фиксированнофиксировано, то общее время слияния деревьев составит <tex>O(N)</tex>. В результате описанных действий получится дерево <tex>M_x</tex>, в котором будут присутствовать поддеревья, которые прошли процедуру слияния, и которые ее избежали (то есть были перенесены в дерево <tex>M_x</tex> без изменений). === Шаг 5: удаление двойных дуг === [[Файл:Tree101232merged.png|thumb|500px|Откорректированное дерево строки <tex>121112212221</tex>]][[Файл:Treestep5_1.jpg|thumb|550px|Пример]]

[[Файл:Tree101232merged-pre.png|450px|thumb|left|Слитое дерево Разбираемся с двойными дугами (условнов примере их три)]]. Для этого мы должны выяснить, сколько начальных символов у них совпадает. Совпадать может любое число символов, даже все. Проверять их все по очереди нельзя, так как это даст квадратичное время. [[Файл:Tree101232merged-nextЕсли дуги совпадают полностью, тогда просто удаляем одну из копий.png|450px|thumb|right|Слитое дерево Если начало для двух дуг совпадает только частично, тогда нужно сделать для них общее начало, а ветки, которые на концах, снова развести по разным деревьям (в упрощённом видедля этого можно во время слияния запомнить их начальный цвет или просто сохранить ссылки на исходные ветки)]].

В результате описанных действий получится дерево <tex>M_x</tex>,в котором будут присутствовать поддеревьяРассмотрим то, которые прошли процедуру сличниякак это сделать, и которые ее избежали (т.е были перенесены в дерево на примере строки <tex>M_x10010010101000</tex> без изменений).:

[[Файл:Tree101232merged.png|500px|thumb|right]]Разбираемся с двойными дугами (на этом примере из три). Для этого мы должны выяснить сколько начальных символов таких дуг совпадает. Совпадать может от одного до нескольких символов, или даже все. Проверять их все по очереди нельзя (это даст квадратичное время). Если Разберём дуги совпадают полностью, тогда ничего не делаем, удаляем одну из копий и всё. Если начало для двух дуг совпадает только частично, тогда нужно делать для них общее начало, а ветки которые на концах снова развести по разным деревъям (для этого можно во время снияния запомнить их начальный цвет или просто сохранить ссылки на исходные ветки). порядку:

[[Файл:Treestep5_1===Достоинства===*Алгоритм Фараха является первым, имеющим асимптотически оптимальное время построения <tex>O(N)</tex> для строк длины <tex>N</tex> над полиномиальным алфавитом, то есть алфавитом мощности порядка <tex>O(N)</tex>.jpg|550px|thumb|left|]]

Разберём дуги *Данный алгоритм является больше теоретическим, нежели практическим. Как можно было заметить, основная идея алгоритма довольно проста и понятна. И хоть он и является асимптотически оптимальным, на практике его используют довольно редко. Это связано с тем, что алгоритм весьма сложен для реализации по порядку:сравнению с другими алгоритмами построения суффиксных деревьев, а также требует достаточно большой объем памяти.*Является offline-алгоритмом, то есть требует для начала работы всю строку целиком.

* (1) расслоение находится на расстоянии два от корня, т.е. дуга не расслаивается==См.также==* (2) конец является родителем вершин 2, 7. Родитель 3, 8 после слияния дуги (1), находится на глубине 2 символа. Значит дуга (2) расслаивается на глубине 3 символа, т.е. так же не расслаивается. Дугу (2) нужно вычислять после обработки дуги (1), потому что конец дуги (1) после обработки может оказаться на разной высоте, в зависимости от того на каком символе она расслоилась.[[Сжатое суффиксное дерево]]* (3) конец является родителем 2, 9. Родитель 3, 10 находится на расстоянии 3, а наше расслоение на на расстоянии 4, т.е. сливается первый символ двойной дуги. Дугу (3) надо вычислять после дуги (2). Потому что если на дуге (2) появится разветвление, то компоненты дуги (3) придётся растащить по разным веткам дерева и сравнивать их будет не нужно.* (4) конец является родителем 1, 4. Расслаивается на втором символе.[[Алгоритм Укконена]]* (5) конец является родителем 0, 3. Дугу (5) можно обрабатывать только после дуги (4), так как от неё будет зависеть глубина расслояния. [[Суффиксный массив]]

Дерево после обработки== Источники информации ==*[http: //www.cs.rutgers.edu/~farach/pubs/Suffix.pdf Optimal suffix tree construction with large alphabets ]*[http://www.proteus2001.narod.ru/gen/txt/11/farach.html Суффиксное дерево {{---}} Алгоритм Фараха]*[Файлhttp:Treestep5_2//books.google.ru/books/about/Computing_Patterns_in_Strings.jpg|650px|thumb|left|html?id=iKR0EewiCu4C&redir_esc=y Computing Patterns in Strings]*[https://github.com/krzysztofp/Text-Algorithms/tree/master/Farach%20suffix%20tree Chris Parjaszewski's implementation]

*[http[Категория://www.proteus2001.narod.ru/gen/txt/11/farach.html - Суффиксное дерево - Алгоритм фарача]*[http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=646102&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fstamp%2Fstamp.jsp%3Ftp%3D%26arnumber%3D646102]*[http://dl.acm.org/citation.cfm?id=796326]*[http://books.google.ru/books/about/Computing_Patterns_in_Strings.html?id=iKR0EewiCu4C&redir_esc=y - Computing Patterns in Strings]